COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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等周問題

等周問題

定理≪多角形の等周定理≫

 周の長さが $L$ で一定の $n$ 角形の面積 $S$ について, \[ S \leqq \frac{L^2}{4n\tan\dfrac{\pi}{n}}\] が成り立つ. 等号成立は, 正 $n$ 角形の場合に限る.

定理≪曲線の等周定理≫

 周の長さが $L$ で一定の閉曲線の面積 $S$ について, \[ S \leqq \dfrac{L^2}{4\pi}\] が成り立つ. 等号成立は, 円の場合に限る.

問題

数学 II: 微分法

問題≪三角形の等周問題≫

 周の長さが $1$ である三角形のうち, 面積が最大となる三角形は正三角形であることを示せ.

解答例

 $x$ を $0 < x < 1$ なる定数とする. 周の長さが $1,$ 底辺の長さが $x$ である三角形のうち, 面積が最大となるのは, 高さが最大となる二等辺三角形である. このような三角形について, 等辺の長さは $\dfrac{1-x}{2}$ であるから, 面積を $S(x)$ とおくと, \[ S(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{\left(\frac{1-x}{2}\right)^2-\left(\frac{x}{2}\right) ^2} = \frac{1}{4}x\sqrt{1-2x}\] となり, \[ 16S(x)^2 = x^2(1-2x)\] となる. 右辺を $x$ の関数として, $f(x)$ とおく. このとき, $f(x) = x^2-2x^3$ から, \[ f'(x) = 2x-6x^2 = 2x(1-3x)\] となり, \[ f'(x) \geqq 0 \iff x \leqq \frac{1}{3}\] となるので, $f(x)$ は $x = \dfrac{1}{3}$ のとき極大かつ最大の値をとる. よって, $S(x)$ は $x = \dfrac{1}{3}$ のとき最大値をとる. これで, 題意が示された.

別解

 $3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c$ である三角形の周の長さが $1$ であるとする. このとき, 三角形の面積を $S$ とおくと, ヘロンの公式により \[ S = \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-a\right)\left(\frac{1}{2}-b\right)\left(\frac{1}{2}-c\right)}\] となるから, \begin{align*} 16S^2 &= (1-2a)(1-2b)(1-2c) \\ &\leqq \left\{\frac{(1-2a)+(1-2b)+(1-2c)}{3}\right\} ^3 \\ &= \left\{\frac{3-2(a+b+c)}{3}\right\} ^3 = \left(\frac{3-2}{3}\right) ^3 = \frac{1}{27} \end{align*} となる. 不等号は相加・相乗平均の不等式により, 等号は $1-2a = 1-2b = 1-2c$ つまり $a = b = c$ のときに成り立つ. これで, 題意が示された.

背景

 周の長さが一定の図形の面積の最大値を求める問題は,「等周問題」(isoperimetric problem)と呼ばれる.
 一般に, 周の長さが一定の $n$ 角形で面積が最大となるものは正 $n$ 角形であることが知られている. また, 周の長さが一定の「閉曲線」(両端の一致したつながった曲線)で面積が最大となるものは円であることが知られている.