COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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等周問題

等周問題

定理≪多角形の等周定理≫

 周の長さが $L$ で一定の $n$ 角形の面積 $S$ について, \[ S \leqq \frac{L^2}{4n\tan\dfrac{\pi}{n}}\] が成り立つ. 等号成立は, 正 $n$ 角形の場合に限る.

定理≪曲線の等周定理≫

 周の長さが $L$ で一定の閉曲線の面積 $S$ について, \[ S \leqq \dfrac{L^2}{4\pi}\] が成り立つ. 等号成立は, 円の場合に限る.

問題

数学 II: 微分法

問題≪三角形の等周問題≫

 周の長さが $1$ である三角形のうち, 面積が最大となる三角形は正三角形であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.