COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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格子多角形

格子多角形

定義≪格子多角形≫

 座標平面上の各座標が整数である点を格子点(lattice point)と呼び, すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形(lattice polygon)と呼ぶ.

定理≪格子正多角形≫

 格子正多角形は正方形に限る.

問題

数学 B: ベクトル

問題≪格子正三角形の非存在≫

 次のことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.
(1)
$\triangle\mathrm{OPQ}$ について, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (a,\ b),$ $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (c,\ d)$ のとき, \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] が成り立つ.
(2)
すべての頂点の各座標が整数であるような正三角形は存在しない.

解答例

 こちらを参照.