COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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曲線の長さ

曲線の長さ

定義≪平面曲線≫

 ある実数値連続関数 $f(t),$ $g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$に対して \[ x = f(t), \quad y = g(t) \quad (a \leqq t \leqq b)\] で定義される点 $(x,y)$ 全体のなす集合を平面曲線(plane curve)または単に曲線と呼ぶ.

定義≪平面曲線の長さ≫

 平面曲線 $C:x = f(t),$ $y = g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$に対して, $C$ 上の任意個の点 \[\mathrm P_k(f(t_k),g(t_k)), \quad a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\] を順に結ぶ折れ線の長さ \[\sum_{k = 1}^n\mathrm P_{k-1}\mathrm P_k\] の上限(どの折れ線の長さよりも大きい実数の最小値)が存在するとき, その値を $C$ の長さ(length)と呼ぶ.

定理≪平面曲線の長さ≫

 微分可能で, 導関数が連続であるような実数値関数 $f(t),$ $g(t)$ に対して, 平面曲線 $x = f(t),$ $y = g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$ の長さ $L$ は \[ L = \int _a^b\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt\] である.

問題≪サイクロイドの長さ≫

 $xy$ 平面上の曲線 \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] の長さ $L$ を求めよ. 

解答例

 $x = \theta -\sin\theta,$ $y = 1-\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると \[\frac{dx}{d\theta} = 1-\cos\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = \sin\theta\] となるから \begin{align*} \left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2 &= (1-\cos\theta )^2+\sin ^2\theta \\ &= 1-2\cos\theta +\cos ^2\theta +\sin ^2\theta \\ &= 2-2\cos\theta = 4\sin ^2\frac{\theta}{2} \\ \end{align*} であり, $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ において $\sin\dfrac{\theta}{2} \geqq 0$ である. ゆえに, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= \int_0^{2\pi}\sqrt{4\sin ^2\frac{\theta}{2}}d\theta \\ &= 2\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 2\left[ -2\cos\frac{\theta}{2}\right] _0^{2\pi} \\ &= 2\cdot (-2)(-1-1) = 8 \end{align*} である.