COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

曲線の長さ

曲線の長さ

定義≪平面曲線≫

 ある実数値連続関数 $f(t),$ $g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$に対して \[ x = f(t), \quad y = g(t) \quad (a \leqq t \leqq b)\] で定義される点 $(x,y)$ 全体のなす集合を平面曲線(plane curve)または単に曲線と呼ぶ.

定義≪平面曲線の長さ≫

 平面曲線 $C:x = f(t),$ $y = g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$に対して, $C$ 上の任意個の点 \[\mathrm P_k(f(t_k),g(t_k)), \quad a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\] を順に結ぶ折れ線の長さ \[\sum_{k = 1}^n\mathrm P_{k-1}\mathrm P_k\] の上限(どの折れ線の長さよりも大きい実数の最小値)が存在するとき, その値を $C$ の長さ(length)と呼ぶ.

定理≪平面曲線の長さ≫

(1)
閉区間 $[a,b]$ で連続で開区間 $(a,b)$ で微分可能な実数値関数 $f(t),$ $g(t)$ の導関数が連続であるとき, 平面曲線 $x = f(t),$ $y = g(t)$ $(a \leqq t \leqq b)$ の長さ $L$ は \[ L = \int _a^b\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt\] である.
(2)
閉区間 $[a,b]$ で連続で開区間 $(a,b)$ で微分可能な実数値関数 $f(x)$ の導関数が連続であるとき, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の長さ $L$ は \[ L = \int _a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx\] である.
(3)
閉区間 $[a,b]$ で連続で開区間 $(a,b)$ で微分可能な実数値関数 $r(\theta )$ の導関数が連続であるとき, 極方程式 $r = r(\theta )$ $(a \leqq \theta \leqq b)$ で表された曲線の長さ $L$ は \[ L = \int _a^b\sqrt{r(\theta )^2+r'(\theta )^2}d\theta\] である.

証明

(2)
(1) において $f(t),$ $g(t)$ をそれぞれ $t,$ $f(t)$ に置き換えると, 求める等式が得られる.
(3)
$x = r(\theta )\cos\theta,$ $y = r(\theta )\sin\theta$ とおくと, \begin{align*} \frac{dx}{d\theta} &= r'(\theta )\cos\theta -r(\theta )\sin\theta, \\ \quad \frac{dy}{d\theta} &= r'(\theta )\sin\theta +r(\theta )\cos\theta \end{align*} となるから, \begin{align*} &\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2 \\ &\!=\! \{ r'(\theta )\!\cos\theta\!-\!r(\theta )\!\sin\theta\} ^2\!+\!\{ r'(\theta )\!\sin\theta\!+\!r(\theta )\!\cos\theta\} ^2 \\ &\!= r(\theta )^2(\cos ^2\theta +\sin ^2\theta )+r'(\theta )^2(\cos ^2\theta +\sin ^2\theta ) \\ &= r(\theta )^2+r'(\theta )^2 \end{align*} であり, \[ L = \int _a^b\sqrt{r(\theta )^2+r'(\theta )^2}d\theta\] が成り立つ.

問題≪サイクロイドの長さ≫

 サイクロイド \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] の長さ $L$ を求めよ. 

解答例

 $x = \theta -\sin\theta,$ $y = 1-\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると \[\frac{dx}{d\theta} = 1-\cos\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = \sin\theta\] となるから \begin{align*} \left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2 &= (1-\cos\theta )^2+\sin ^2\theta \\ &= 1-2\cos\theta +\cos ^2\theta +\sin ^2\theta \\ &= 2-2\cos\theta = 4\sin ^2\frac{\theta}{2} \\ \end{align*} であり, $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ において $\sin\dfrac{\theta}{2} \geqq 0$ である. ゆえに, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= \int_0^{2\pi}\sqrt{4\sin ^2\frac{\theta}{2}}d\theta \\ &= 2\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 2\left[ -2\cos\frac{\theta}{2}\right] _0^{2\pi} \\ &= 2\cdot (-2)(-1-1) = 8 \end{align*} である.

問題≪カージオイドの長さ≫

 カージオイド \[ x \!=\! (1\!+\!\cos\theta )\cos\theta,\ y \!=\! (1\!+\!\cos\theta )\sin\theta \quad (-\pi \!\leqq\! \theta \!\leqq\! \pi )\] の長さ $L$ を求めよ.

解答例

 $x = (1+\cos\theta )\cos\theta,$ $y = (1+\cos\theta )\sin\theta$ を $\theta$ で微分すると \begin{align*} \frac{dx}{d\theta} &= (-\sin\theta )\cos\theta +(1+\cos\theta )(-\sin\theta ) \\ &= -2\sin\theta\cos\theta -\sin\theta \\ &= -\sin 2\theta -\sin\theta, \\ \frac{dy}{d\theta} &= (-\sin\theta )\sin\theta +(1+\cos\theta )\cos\theta \\ &= (\cos ^2\theta -\sin ^2\theta )+\cos\theta \\ &= \cos 2\theta +\cos\theta \end{align*} となるから \begin{align*} &\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2 \\ &= (-\sin 2\theta -\sin\theta )^2+(\cos 2\theta +\cos\theta )^2 \\ &= \sin ^22\theta +2\sin 2\theta\sin\theta +\sin ^2\theta \\ &\qquad +\cos ^22\theta +2\cos 2\theta\cos\theta +\cos ^2\theta \\ &= 2+2\cos (2\theta -\theta ) \\ &= 2(1+\cos\theta ) \\ &= 4\cos ^2\frac{\theta}{2} \end{align*} であり, $-\pi \leqq \theta \leqq \pi$ において $\cos\dfrac{\theta}{2} \geqq 0$ である. ゆえに, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{4\cos ^2\frac{\theta}{2}}d\theta \\ &= 2\int_{-\pi}^\pi\cos\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 4\int_0^\pi\cos\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 4\left[ 2\sin\frac{\theta}{2}\right] _0^\pi \\ &= 4\cdot 2(1-0) = 8 \end{align*} である.

別解

 この曲線は極方程式 \[ r = 1+\cos\theta \quad (-\pi \leqq \theta \leqq \pi )\] で表されるから, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right) ^2}d\theta \\ &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{(1+\cos\theta )^2+(-\sin\theta )^2}d\theta \\ &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{1+2\cos\theta +\cos ^2\theta +\sin ^2\theta}d\theta \\ &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{2(1+\cos\theta )}d\theta \\ &= \int_{-\pi}^\pi\sqrt{4\cos ^2\frac{\theta}{2}}d\theta \\ &= 2\int_{-\pi}^\pi\cos\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 4\int_0^\pi\cos\frac{\theta}{2}d\theta \\ &= 4\left[ 2\sin\frac{\theta}{2}\right] _0^\pi \\ &= 4\cdot 2(1-0) = 8 \end{align*} である.

問題≪アステロイドの長さ≫

 アステロイド \[ x = \cos ^3\theta, \quad y = \sin ^3\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] の長さ $L$ を求めよ.

別解

\[\cos ^3(2\pi -\theta ) = \cos ^3\theta, \quad \sin ^3(2\pi -\theta ) = -\sin ^3\theta\] から曲線は $x$ 軸に関して対称であり, \[\cos ^3(\pi -\theta ) = -\cos ^3\theta, \quad \sin ^3(\pi -\theta ) = \sin ^3\theta\] から曲線は $y$ 軸に関して対称である. よって, \[ L = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2}d\theta\] である. $x = \cos ^3\theta,$ $y = \sin ^3\theta$ を $\theta$ で微分すると \[\frac{dx}{d\theta} = -3\cos ^2\theta\sin\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = 3\sin ^2\theta\cos\theta\] となるから \begin{align*} &\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2 \\ &= (-3\cos ^2\theta\sin\theta )^2+(3\sin ^2\theta\cos\theta )^2 \\ &= 9\cos ^4\theta\sin ^2\theta +9\sin ^4\theta\cos ^2\theta \\ &= 9\sin ^2\theta\cos ^2\theta (\cos ^2\theta +\sin ^2\theta ) \\ &= \frac{9}{4}(2\sin\theta\cos\theta )^2 \\ &= \frac{9}{4}\sin ^22\theta \end{align*} であり, $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $\sin 2\theta \geqq 0$ である. ゆえに, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{9}{4}\sin ^22\theta}d\theta \\ &= 4\cdot\frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta \\ &= 6\left[ -\frac{\cos 2\theta}{2}\right] _0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -3(-1-1) = 6 \end{align*} である.

問題≪円の伸開線の長さ≫

 一端が原点 $\mathrm O(0,\ 0)$ に固定された伸び縮みのしない長さ $2\pi$ の糸がある. 他端 $\mathrm P$ が点 $\mathrm A(2\pi,\ 0)$ 上にある状態から, 糸をたるまないように円周 $C:x^2+(y-1)^2 = 1$ 上に反時計回りに巻き付ける.
(1)
円周 $C$ の中心を $\mathrm B$ とおき, $C$ 上の点 $\mathrm Q$ まで糸を巻き付けたとき, $\theta = \angle\mathrm{OBQ}$ とおく. $\theta$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を表せ.
(2)
点 $\mathrm P$ が描く曲線の長さ $L$ を求めよ.

解答例

(1)
$\angle\mathrm{OBQ} = \theta$ のとき $\mathrm Q(\sin\theta,\ 1-\cos\theta )$ だから, \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{BQ}} &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ &= (\sin\theta, 1-\cos\theta )-(0,\ 1) \\ &= (\sin\theta,\ -\cos\theta ) \end{align*} であり, この単位法線ベクトルは \[\pm (\cos\theta,\ \sin\theta )\] である. $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ は $\vec n = (\cos\theta,\ \sin\theta )$ に平行で長さが $\mathrm{PQ} = \mathrm{OA}-\stackrel{\frown}{\mathrm{OQ}} = 2\pi -\theta$ のベクトルだから, \begin{align*} &\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QP}} \\ &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+(2\pi -\theta )\vec n \\ &= (\sin\theta,\ 1-\cos\theta )+(2\pi -\theta )(\cos\theta,\ \sin\theta ) \\ &= (\sin\theta+(2\pi -\theta )\cos\theta,\ 1-\cos\theta +(2\pi -\theta )\sin\theta ) \end{align*} である.
(2)
\begin{align*} x &= \sin\theta+(2\pi -\theta )\cos\theta, \\ y &= 1-\cos\theta +(2\pi -\theta )\sin\theta \end{align*} とおくと, \begin{align*} \frac{dx}{d\theta} &= \cos\theta -\cos\theta +(2\pi -\theta )(-\sin\theta ) \\ &= -(2\pi -\theta )\sin\theta, \\ \frac{dy}{d\theta} &= \sin\theta -\sin\theta +(2\pi -\theta )\cos\theta \\ &= (2\pi -\theta )\cos\theta \end{align*} となる. よって, 求める曲線の長さは, \begin{align*} L &= \int _0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2}d\theta \\ &= \int _0^{2\pi}(2\pi -\theta )d\theta \\ &= \left[ 2\pi\theta -\frac{\theta ^2}{2}\right] _0^{2\pi} \\ &= 2\pi ^2 \end{align*} である.

背景

 ある図形にたるみなく巻きつけられたひもをたるみなくほどいていくとき, ひもの先端が描く軌跡はその図形の「伸開線」(involute)と呼ばれる.

問題≪懸垂線の長さ≫

 $f(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおく. 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm P(t,f(t))\ (t \geqq 0)$ における接線に点 $\mathrm H(t,0)$ から下ろした垂線の足を $\mathrm Q$ とおく. 次のことを示せ.
(1)
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm A(0,f(0))$ から $\mathrm P$ までの弧長 $\overset{\frown}{\mathrm{AP}}$ は $f'(t)$ に等しい.
(2)
$\overset{\frown}{\mathrm{AP}} = \mathrm{PQ}$ が成り立つ.
[室蘭工業大]

解答例

(1)
$f'(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2},$ $f''(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} = f(x) \geqq 0$ から \begin{align*} 1+f'(x)^2 &= 1\!+\!\left(\frac{e^x\!-\!e^{-x}}{2}\right) ^2 \!= 1\!+\!\frac{e^{2x}\!-\!2\!+\!e^{-2x}}{4} \\ &= \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} = \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) ^2 \\ &= f(x)^2 = f''(x)^2 \end{align*} であるので, \begin{align*} \overset{\frown}{\mathrm{AP}} &= \int_0^t\sqrt{1+f'(x)^2}dx = \int_0^tf''(x)dx \\ &= \left[ f'(x)\right] _0^t = f'(t) \end{align*} が成り立つ.
(2)
直線 $\mathrm{QH}$ は点 $(t,0)$ を通り, 接線 $\mathrm{PQ}$ に垂直であるから, その方程式は
$y = -\dfrac{1}{f'(t)}(x-t)$ つまり $x+f'(t)y-t = 0$
である. よって, 点 $\mathrm P(t,f(t))$ と直線 $\mathrm{QH}$ の距離は \begin{align*} \mathrm{PQ} &= \frac{|t+f'(t)f(t)-t|}{\sqrt{1+f'(t)^2}} = \frac{f'(t)f(t)}{f(t)} \\ &= f'(t) = \overset{\frown}{\mathrm{AP}} \end{align*} である.

背景

 両端を持って鎖の垂らしたときにできる曲線は, 「懸垂線」または「カテナリー」(catenary)と呼ばれ, $y = a\cosh\dfrac{x}{a}$ ($a > 0$)と表されることが知られている. ここで, $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ は「双曲線関数」(hypabolic function)である. その名の通り, $\sinh x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ との間には, $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2 = 1$ という関係がある.