COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

関数の極限

教科書の補足

関数の極限

定理≪$\sin x/x$ の極限≫

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.\]

証明

 まず, $\lim\limits_{x \to +0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ を示す. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で考えれば十分である. 点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $1$ の円の中で, 中心角 $x$ の扇形 $\mathrm{OAB}$ を考える. 点 $\mathrm B$ から線分 $\mathrm{OA}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおき, 点 $\mathrm A$ を通り $\mathrm{HB}$ と平行な直線が直線 $\mathrm{OB}$ と交わる点を $\mathrm T$ とおく. 扇形 $\mathrm{OAB}$ の面積を $S$ とおくと, \[\triangle\mathrm{OAB} < S < \triangle\mathrm{OAT}.\] $\mathrm{BH} = \sin x,$ $\mathrm{AT} = \tan x$ であるから, \[\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x < \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x < \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\tan x\] となり, \[\sin x < x < \tan x\] となる. 各辺を $\sin x$ で割ると, \[ 1 < \frac{x}{\sin x} > \frac{1}{\cos x}.\] 各辺の逆数をとると, \[ 1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x\] $\lim\limits_{x \to +0}\cos x = 1$ であるから, \[\lim\limits_{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1 \quad \cdots [1].\] よって, \[\lim\limits_{x \to -0}\frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to -0}\frac{\sin (-x)}{-x} = \lim\limits_{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1 \quad \cdots [2].\] $[1],$ $[2]$ から, 求める等式が得られる.

連続関数

定理≪関数の和・差・積の連続性≫

 $f(x),$ $g(x)$ が $x = a$ で連続であるならば, $(f\pm g)(x),$ $fg(x),$ $(f/g)(x)$ (ただし $g(x) \neq 0$)は $x = a$ で連続である. ここで, $f\pm g,$ $fg,$ $f/g$ は $(f\pm g)(x) = f(x)\pm g(x),$ $(fg)(x) = f(x)g(x),$ $(f/g)(x) = f(x)/g(x)$ で定まる関数である.

証明

 $f(x),$ $g(x)$ が $x = a$ で連続ならば, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$ なる実数列 $\{ a_n\}$ をとると, \begin{align*} (f\pm g)(\lim\limits_{n \to \infty}a_n) &= f(\lim\limits_{n \to \infty}a_n)\pm g(\lim\limits_{n \to \infty}a_n) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}f(a_n)+\lim\limits_{n \to \infty}g(a_n) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}(f(a_n)+g(a_n)) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}(f+g)(a_n) \end{align*} となる. これは $(f\pm g)(x)$ は $x = a$ で連続であることを示している. 残りも同様にして示される.

定理≪合成関数の連続性≫

 $f(x)$ が $x = a$ で連続で, $g(x)$ が $x = f(a)$ で連続であるならば, $(g\circ f)(x)$ は $x = a$ で連続である.

証明

 $f(x)$ が $x = a$ で連続で, $g(x)$ が $x = f(a)$ で連続であるとき, 各項が $f(x)$ の定義域に属し, $a$ に収束する実数列 $\{ a_n\}$ をとると, \begin{align*} (g\circ f)\left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right) &= g\left(f\left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right)\right) = g\left(\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n)\right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}g(f(a_n)) = \lim\limits_{n \to \infty}(g\circ f)(a_n) \end{align*} となる. これは $(g\circ f)(x)$ が $x = a$ で連続であることを示している.

定理≪逆関数の連続性≫

 $f(x)$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ をもち, $x = a$ で連続であるならば, $f^{-1}(x)$ は $x = f(a)$ で連続である.

証明

 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとき, 各項が $f^{-1}(x)$ の定義域に属し, $a$ に収束する実数列 $\{ a_n\}$ をとると, \begin{align*} &f^{-1}\left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right) = f^{-1}\left(\lim\limits_{n \to \infty}f(f^{-1}(a_n))\right) \\ &= f^{-1}\left(f\left(\lim\limits_{n \to \infty}f^{-1}(a_n)\right)\right) = \lim\limits_{n \to \infty}f^{-1}(a_n) \end{align*} となる. これは $f^{-1}(x)$ が $x = a$ で連続であることを示している.

問題

関数の極限

問題≪曲線 $y = \sqrt{x^2+1}$ の漸近線≫

 $\lim\limits_{x \to \infty}\big(\sqrt{x^2+1}-(ax+b)\big) = 0$ を満たす定数 $a,$ $b$ の値を求めよ.

解答例

 $d(x) = \sqrt{x^2+1}-(ax+b)$ とおく.
$\lim\limits_{x \to \infty}d(x) = 0$ となるためには, $a > 0$ でなければならない($a \leqq 0$ だと $\lim\limits_{x \to \infty}d(x) = \infty$ となってしまう).
\begin{align*} d(x) &= \frac{(x^2+1)-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2+1}+(ax+b)} \\ &= \frac{(1-a^2)x^2-2abx+(1-b^2)}{\sqrt{x^2+1}+(ax+b)} \\ &= \frac{(1-a^2)x-2ab+\dfrac{1-b^2}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+a+\dfrac{b}{x}}. \end{align*} $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+a+\dfrac{b}{x}\right) = 1+a$ は定数だから, $\lim\limits_{x \to \infty}d(x) = 0$ となるためには $1-a^2 = 0$ すなわち $a = 1$ でなければならない($1-a^2 \neq 0$ だと $\lim\limits_{x \to \infty}d(x) = \infty$ となってしまう). このとき, $$\lim\limits_{x \to \infty}d(x) = \frac{-2b}{1+a} = 0$$ より, $b = 0.$ $$\therefore a = 1, \quad b = 0.$$

解説

 一般に, 任意の定数 $p,$ $q,$ $r$ に対して, $p > 0$ のとき, $\lim\limits_{x \to \infty}\big(\sqrt{px^2+qx+r}-(ax+b)\big) = 0$ を満たす定数 $a,$ $b$ が存在する($a = \sqrt p$). これは, 直感的には「$2$ 次式の平方根は $1$ 次式で近似できる」ことを意味する.

問題≪不等式を満たす整数の最大・最小≫

 $0 < x < 1$ において, 常に不等式 \[\frac{1}{m} < \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} < \frac{1}{n} \quad \cdots [\ast ]\] を満たす正整数 $m$ の最小値および正整数 $n$ の最大値を求めよ.

解答例

\[ f(x) = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \quad (0 < x < 1)\] とおくと, \[ f(x) = \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{1+\sqrt{1+x}}.\] よって, $f(x)$ は $0 < x < 1$ において単調減少である. また, \[\lim_{x \to +0}f(x) = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 1-0}f(x) = \frac{1}{1+\sqrt 2}\] であるから, $f(x)$ の値域は \[\frac{1}{1+\sqrt 2} < f(x) < \frac{1}{2}.\] $1+\sqrt 2$ より大きい最小の整数は $3$ であり, したがって $\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{1+\sqrt 2}$ を満たす最小の正整数 $m$ は $3$ であるから, $[\ast ]$ を満たす $m$ の最小値は $3,$ $n$ の最大値は $2.$

問題≪半円形の鏡による反射に関する極限≫

 点 $\mathrm O$ を中心, $\mathrm{AB}$ を直径とする半径 $1$ の半円上の点 $\mathrm P$ を通り, $\mathrm{OP}$ に関して線分 $\mathrm{AP}$ と対称な直線の $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm Q$ とおく. $\theta = \angle\mathrm{OAP}$ に関する線分の長さの極限値 $\lim\limits_{\theta \to +0}\mathrm{OQ}$ を求めよ.

解答例

直線 $\mathrm{AP},$ $\mathrm{QP}$ は直線 $\mathrm{OP}$ に関して対称であり, $\mathrm{OA} = \mathrm{OP} = 1$ だから, $$\angle\mathrm{OPQ} = \angle\mathrm{OPA} = \angle\mathrm{OAP} = \theta.$$ よって, $$\angle\mathrm{PQB} = \angle\mathrm{PAQ}+\angle\mathrm{APQ} = 3\theta.$$ $\triangle\mathrm{OPQ}$ に正弦定理を適用すると, $$\mathrm{OQ} =\frac{\mathrm{OP}}{\sin\angle\mathrm{OQP}}\sin\angle\mathrm{OPQ} = \frac{\sin\theta}{\sin (\pi -3\theta )} = \frac{\sin\theta}{\sin 3\theta}.$$ ゆえに, $$\lim\limits_{\theta \to +0}\mathrm{OQ} = \lim\limits_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\frac{3\theta}{\sin 3\theta}\cdot\frac{1}{3} = 1\cdot 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$$

問題≪単位円に内接する正多角形の周長の極限≫

 $n$ を $2$ 以上の整数とする. 単位円に内接する正 $2^n$ 角形の周の長さは円周率 $\pi$ に収束することを示せ.

解答例

 後日公開.

連続関数

問題≪ガウス記号を含む関数の連続性≫

 各実数 $x$ に対して $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表すとき, 関数 $f(x) = x[x]$ の $x = 0,$ $x = 1$ における連続性を調べよ.

解答例

 $-1 \leqq x < 2$ において, $$[x] = \left\{\begin{array}{ll} -1 & (-1 \leqq x < 0), \\ 0 & (0 \leqq x < 1), \\ 1 & (1 \leqq x < 2) \end{array}\right.$$ だから, $$f(x) = x[x] = \left\{\begin{array}{ll} -x & (-1 \leqq x < 0), \\ 0 & (0 \leqq x < 1), \\ x & (1 \leqq x < 2) \end{array}\right.$$ よって, $$\lim\limits_{x \to 0-0}f(x) = -x|_{x = 0} = 0, \quad \lim\limits_{x \to 0+0}f(x) = 0|_{x = 0} = 0$$ の値は一致するから, $f(x)$ は $x = 0$ において連続である. また, $$\lim\limits_{x \to 1-0}f(x) = 0|_{x = 1} = 0, \quad \lim\limits_{x \to 1+0}f(x) = x|_{x = 1} = 1$$ の値は異なるから, $f(x)$ は $x = 1$ において不連続である.

解説

 $f(x)$ が $x = 1$ で連続でないことは, 幾何学的には $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ が「$x = 1$ でつながっていない」ことを意味する.

問題≪極限関数の連続性≫

 関数 $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1}$ が実数全体で連続であるとき, 定数 $a,$ $b$ の値を求めよ.

解答例

(i)
$|x| < 1$ のとき, $$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1} = ax+b.$$
(ii)
$x = 1$ のとき, $$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+a+b}{1+1} = \frac{a+b+1}{2}.$$
(iii)
$x = -1$ のとき, $$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{-1-a+b}{1+1} = \frac{-a+b-1}{2}.$$
(iv)
$|x| > 1$ のとき, $$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\dfrac{a}{x^{2n}}+\dfrac{b}{x^{2n+1}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2n+1}}} = x.$$
よって, $f(x)$ は開区間 $(-\infty,\ -1),$ $(-1,\ 1),$ $(1,\ \infty)$ においてそれぞれ無条件に連続だから, $f(x)$ が実数全体で連続であるためには $x = \pm 1$ において連続であることが必要十分である. したがって, $\lim\limits_{x \to -1-0}f(x) = \lim\limits_{x \to -1+0}f(x) = f(-1),$ $\lim\limits_{x \to 1-0}f(x) = \lim\limits_{x \to 1+0}f(x) = f(1)$ より, $$-1 = -a+b = \frac{-a+b-1}{2}, \quad a+b = 1 = \frac{a+b+1}{2}.$$ ゆえに, $$a = 1, \quad b = 0.$$

問題≪$2$ 次方程式の解の存在範囲≫

 $a < b < c$ のとき, $2$ 次方程式 $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = 0$ は $a < \alpha < b < \beta < c$ を満たす $2$ つの解 $\alpha,$ $\beta$ を持つことを示せ.

解答例

\[ f(x) = (x\! -\! a)(x\! -\! b)\! +\! (x\! -\! b)(x\! -\! c)\! +\! (x\! -\! c)(x\! -\! a)\] とおくと, $a < b < c$ より, \begin{align*} f(a) & = (a-b)(a-c) = (-1)^2(b-a)(c-a) > 0, \\ f(b) & = (b-c)(b-a) = -(b-a)(c-b) < 0, \\ f(c) & = (c-a)(c-b) > 0 \end{align*} だから, 中間値の定理より, $2$ 次方程式 $f(x) = 0$ は $a < \alpha < b,$ $b < \beta < c$ を満たす $2$ つの解 $\alpha,$ $\beta$ を持つ.

問題≪$3$ 次関数のグラフの接線の本数≫

 $xy$ 平面上の点 $\mathrm P$ から曲線 $y = x^3-x$ に $3$ 本の接線が引けるとき, 点 $\mathrm P$ はどのような範囲に存在するか.

解答例

 $f(x) = x^3-x$ とおくと, \[ f'(x) = 3x^2-1.\] よって, $y = f(x)$ の点 $(t,\ f(t))$ における接線の方程式は, \begin{align*} y-(t^3-t) &= (3t^2-1)(x-t). \\ \therefore y &= (3t^2-1)x-2t^3 \quad \cdots [1]. \end{align*} $y = f(x)$ の接線と接点は $1$ 対 $1$ に対応することに注意すると, 与えられた点 $\mathrm P(x,\ y)$ から $y = f(x)$ に $3$ 本の接線が引けるためには $[1]$ すなわち \[ 2t^3-3xt^2+(x+y) = 0\] が相異なる $3$ つの実数解を持つことが必要十分である.
$g(t) = 2t^3-3xt^2+(x+y)$ とおくと, \[ g'(t) = 6t^2-6xt = 6t(t-x)\] だから, 中間値の定理より, これは \[ x \neq 0, \qquad g(0)g(x) < 0 \quad \cdots [2]\] が成り立つことと同値である.
$g(0) = x+y,$ $g(x) = y-x^3+x$ より,
$[2]$$\iff$$(x+y)(y-x^3+x) < 0$
$\iff$$\left\{\begin{array}{l} x+y > 0, \\ y-x^3+x < 0 \end{array}\right.$ または $\left\{\begin{array}{l} x+y < 0, \\ y-x^3+x > 0 \end{array}\right.$
$\iff$$-x < y < x^3-x$ または $x^3-x < y < -x.$
この条件が成り立つとき, $x \neq 0$ は自動的に成り立つ.
ゆえに, 点 $\mathrm P(x,\ y)$ の存在し得る範囲は, 直線 $y = -x$ と曲線 $y = x^3-x$ の間に挟まれた部分.