COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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数列の極限

無限等比数列の極限

定理≪無限等比数列の極限≫

 $r > -1$ のとき, \[\lim\limits_{n \to \infty}r^n = \begin{cases} \infty & (r > 1), \\ 1 & (r = 1), \\ 0 & (|r| < 1) \end{cases}\] が成り立つ. $r \leqq -1$ のとき, $\{ r^n\}$ は振動する.

定理≪無限等比級数の収束・発散≫

 $a,$ $r$ を実数とし, $\{ a_n\}$ を初項 $a,$ 公比 $r$ の無限等比数列とする.
(1)
$a \neq 0,$ $|r| < 1$ ならば, \[\sum_{n = 1}^\infty a_n = \frac{a}{1-r}\] が成り立つ.
(2)
$a \neq 0,$ $|r| \geqq 1$ のとき, $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n$ は発散する.
(3)
$a = 0$ のとき, $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty a_n = 0$ である.

問題≪コッホ雪片≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形を $K_0$ として, 次のような規則で多角形 $K_n$ $(n \geqq 0)$ を順次定めていく. 多角形 $K_n$ の各辺において, 辺を $3$ 等分する $2$ 点を頂点とするような正三角形を $K_n$ の外側に貼りあわせ, できた多角形を $K_{n+1}$ とする.
(1)
多角形 $K_n$ の周の長さを $L_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}L_n$ を求めよ.
(2)
多角形 $K_n$ の面積を $S_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ を求めよ.
[2010 北海道大*]

解答例

 こちらを参照.