COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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軌跡

軌跡

問題≪アポロニウスの円≫

 $m,$ $n$ を相異なる正の数とする. $xy$ 平面上において, $2$ 点 $\mathrm A(-1,0),$ $\mathrm B(1,0)$ からの距離の比が $m:n$ である点 $\mathrm P$ の軌跡を求めよ.

解答例

 点 $\mathrm P(x,y)$ に対して \begin{align*} &\mathrm{AP}:\mathrm{BP} = m:n \\ &\iff m\mathrm{BP} = n\mathrm{AP} \\ &\iff m^2\mathrm{BP}^2 = n^2\mathrm{AP}^2 \\ &\iff m^2\{ (x-1)^2+y^2\} = n^2\{ (x+1)^2+y^2\} \\ &\iff (m^2\!\!-\!n^2)x^2\!\!-\!2(m^2\!\!+\!n^2)x\!+\!(m^2\!\!-\!n^2)y^2\! \!=\! n^2\!\!-\!m^2 \\ &\iff x^2-2\cdot\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}x+y^2 = -1 \\ &\iff \left( x-\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\right) ^2+y^2 = \frac{(m^2+n^2)^2}{(m^2-n^2)^2}-1 \\ &\iff \left( x\!-\!\frac{m^2\!+\!n^2}{m^2\!-\!n^2}\right) ^2\!+\!y^2 \!=\! \frac{(m^2\!+\!n^2)^2\!-\!(m^2\!-\!n^2)^2}{(m^2\!-\!n^2)^2} \\ &\iff \left( x-\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\right) ^2+y^2 = \frac{4m^2n^2}{(m^2-n^2)^2} \\ \end{align*} が成り立つから, 点 $\mathrm P$ の軌跡は $\left(\dfrac{m^2+n^2}{m^2-n^2},0\right)$ を中心とする半径 $\dfrac{2mn}{|m^2-n^2|}$ の円である.

背景

  • 本問で示したように, 相異なる $2$ 定点からの距離の比が一定である点は円を描く(ただし, $1:1$ の場合は除く). これを「アポロニウスの円」(circle of Apollonius)と呼ぶ.
  • なお, 相異なる $2$ 定点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ からの距離の比が $1:1$ である点の軌跡は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線である.