COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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対数関数

対数関数

定義≪対数≫

 $a$ を $1$ と異なる正の数とする.
(1)
正の数 $P$ に対して, $P = a^p$ を満たす実数 $p$ がただ $1$ つ存在する. この実数 $p$ を, $a$ を底とする $P$ の対数(logarithm of $P$ to the base $a$)と呼び, $\log_aP$ で表す.
(2)
正の数 $x$ を $\log_ax$ に対応させる関数を, $a$ を底とする対数関数(logarithmic function)と呼ぶ.

定理≪対数法則≫

 $1$ と異なる正の数 $a,$ 正の数 $P,$ $Q,$ 実数 $k$ に対して
(1)
$\log_aPQ = \log_aP+\log_aQ,$ 
(2)
$\log_a\dfrac{P}{Q} = \log_aP-\log_aQ,$ 
(3)
$\log_aP^k = k\log_aP$ 
が成り立つ.

証明

 $p = \log_aP,$ $q = \log_aQ$ とおく.
(1)
指数法則により \[ PQ = a^pa^q = a^{p+q}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aPQ = p+q = \log_aP+\log_aQ\] となる.
(2)
$\dfrac{1}{Q} = Q^{-1} = (a^q)^{-1} = a^{-q}$ から $\log_a\dfrac{1}{Q} = -\log_aQ$ であるので, (1) において $Q$ を $\dfrac{1}{Q}$ に置き換えることで得られる.
(3)
指数法則により \[ P^k = (a^p)^k = a^{kp}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aP^k = kp = k\log_aP\] となる.

定理≪対数関数の単調性≫

 $1$ と異なる正の数 $a$ に対して,
  • $a > 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 < \log_ax_2$
  • $a < 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 > \log_ax_2$
が成り立つ.

問題≪対数関数の凸性に関する対数の比較≫

 $a > 1,$ $P > 0,$ $Q > 0$ のとき, \[ A = \log_a(P+Q)-\log_a2, \quad G = \dfrac{1}{2}(\log_aP+\log_aQ)\] の大小を比較せよ.

解答例

\[ A = \log_a\frac{P+Q}{2}, \quad G = \frac{1}{2}\log_aPQ = \log_a\sqrt{PQ}\] であるから, 相加・相乗平均の不等式 \[\frac{P+Q}{2} \geqq \sqrt{PQ}\] と $a > 1$ により \[ A \geqq G\] が成り立つ. 等号は $P = Q$ のときに限り成り立つ.

背景

 一般に, $\log_ax$ のグラフが上に凸であることから, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n > 0,$ $t_1,$ $\cdots,$ $t_n > 0,$ $t_1+\cdots +t_n = 1$ のとき \[\log_a(t_1x_1+\cdots +t_nx_n) \geqq t_1\log_ax_1+\cdots +t_n\log_ax_n\] が成り立つことが知られている. このタイプの不等式は, 「イェンゼンの不等式」(Jensen's inequality)と呼ばれる. 本問では, $n = 2,$ $t_1 = t_2 = \dfrac{1}{2}$ の場合にこの不等式が成り立つことを示した.