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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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くじ引きの公平性

くじ引きの公平性

定理≪くじ引きの公平性≫

 くじ引きで引いたくじをもとに戻さないとき, 当たりを引く確率は引く順番によらず一定である.

証明 1

 $k$ 番目までにくじを引く場合の数は, ${}_n\mathrm P_k$ 通りである. $k$ 番目に当たりを引くとき, $k$ 番目のくじの引き方が $r$ 通りあり, $1$ 番目から $k-1$ 番目までのくじの引き方が ${}_{n-1}\mathrm P_{k-1}$ 通りあるから, $k$ 番目に当たりを引く場合の数は $r{}_{n-1}\mathrm P_{k-1}$ 通りである. ゆえに, $k$ 番目に当たりを引く確率は, \[\frac{r{}_{n-1}\mathrm P_{k-1}}{{}_n\mathrm P_k} = \frac{r(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)} = \frac{r}{n}\] である.

証明 2

 $r$ 本だけ当たりを含む $n$ 本のくじで $k$ 番目にくじを引くとき, 当たりが $a$ 本, はずれが $n-k+1-a$ 本残っているとして, 当たりを引く確率を $p_k$ とおく. このとき, \[ p_k = \dfrac{a}{n-k+1} \quad \cdots [1]\] である. $k+1$ 番目で当たりを引くのは,
(i)
$k$ 番目で当たりを引き, $a-1$ 本だけ当たりを含む残り $n-k$ 本から当たりを引く
(ii)
$k$ 番目ではずれを引き, $a$ 本だけ当たりを含む残り $n-k$ 本から当たりを引く
の $2$ つの場合があり, これらの事象は互いに排反であるから, \begin{align*} p_{k+1} &= p_k\cdot\frac{a-1}{n-k}+(1-p_k)\cdot\frac{a}{n-k} \\ &= \frac{a}{n-k}-p_k\cdot\frac{1}{n-k} \\ &= \frac{1}{n-k}(a-p_k) \\ &= \frac{1}{n-k}\left( a-\frac{a}{n-k+1}\right) \quad (\because [1]) \\ &= \frac{a}{n-k}\cdot\frac{(n-k+1)-1}{n-k+1} \\ &= \frac{a}{n-k+1} \\ &= p_k \quad (\because [1]) \end{align*} が成り立つ. ゆえに, くじ引きで当たりを引く確率は, 引く順番によらず $p_1 = \dfrac{r}{n}$ で一定である.

証明 3: 二項係数の等式を利用

 $r$ 本だけ当たりを含む $n$ 本のくじで $k+1$ 番目にくじを引く場合を考える. その前の $k$ 回で当たりが $l$ 本, はずれが $k-l$ 本出たとき, $k+1$ 番目で当たりを引く確率は, \[\frac{{}_r\mathrm C_l\cdot{}_{n-r}\mathrm C_{k-l}}{{}_n\mathrm C_k}\cdot\frac{r-l}{n-k} = \frac{r}{n}\cdot\frac{{}_{r-1}\mathrm C_l\cdot{}_{n-r}\mathrm C_{k-l}}{{}_{n-1}\mathrm C_k}\] である. ここで, 整数 $l$ は $0$ 以上 $k$ 以下の範囲を動くから, $k+1$ 番目で当たりを引く確率は, \begin{align*} &\sum_{l = 0}^k\frac{r}{n}\cdot\frac{{}_{r-1}\mathrm C_l\cdot{}_{n-r}\mathrm C_{k-l}}{{}_{n-1}\mathrm C_k} \\ &= \frac{r}{n}\cdot\frac{1}{{}_{n-1}\mathrm C_k}\sum_{l = 0}^k{}_{r-1}\mathrm C_l\cdot{}_{n-r}\mathrm C_{k-l} \\ &= \frac{r}{n}\cdot\frac{1}{{}_{n-1}\mathrm C_k}\cdot{}_{n-1}\mathrm C_k \\ &= \frac{r}{n} \end{align*} である. ここで, $(1+x)^{n_1}(1+x)^{n_2} = (1+x)^{n_1+n_2}$ の展開式の $x^k$ の係数を比較することで得られる二項係数の等式 \[\sum_{l = 0}^k{}_{n_1}\mathrm C_l\cdot{}_{n_2}\mathrm C_{k-l} = {}_{n_1+n_2}\mathrm C_k\] を使った. ゆえに, くじ引きで当たりを引く確率は, 引く順番によらず $\dfrac{r}{n}$ で一定である.

問題

数学 A: 確率

問題≪くじ引きの公平性≫

 $r$ 本だけ当たりを含む $n$ 本のくじで $k$ 番目にくじを引くとき($r \leqq n,$ $k \leqq n$), 当たりを引く確率 $p_k$ が $\dfrac{r}{n}$ であることを, 次の $2$ つの方法で示せ. ただし, $1$ 度引いたくじはもとに戻さないものとする.
(A)
$k$ 番目までにくじを引く場合の数に着目して, $p_k$ を求める.
(B)
$k$ 番目にくじを引くときに当たりが $a$ 本だけ残っているとする. このとき, $k+1$ 番目に当たりを引く確率 $p_{k+1}$ が $p_k$ に等しいことを示す.

解答例

 こちらを参照.

問題≪くじ引きの条件付き確率≫

 $r$ 本だけ当たりを含む $n$ 本のくじから, A, B の $2$ 人がこの順番に $1$ 本ずつくじを引く. A が当たりを引くという事象を $A,$ B が当たりを引くという事象を $B$ とおく. 引いたくじはもとに戻さないとして, 次のことを示せ.
(1)
$P(A) = P(B)$ が成り立つ.
(2)
$P_A(B) = P_B(A)$ が成り立つ.

解答例

 こちらを参照.