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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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写像

理論

写像

定義≪写像≫

 $X,$ $Y$ を集合とする.
(1)
$X$ の各元 $x$ に対して $Y$ の元 $f(y)$ が定まるとき, $x$ を $f(x)$ に対応させる規則を $X$ から $Y$ への写像(mapping, map)と呼び, $f:X\to Y$ または単に $f$ で表す. $X$ と $Y$ が「数の集合」であるとき, $f$ は関数(function)とも呼ばれる. $f(x)$ を $f$ による $x$ の(image), または $f$ の $x$ における(value)と呼ぶ. $X$ を $f$ の定義域(domain)と呼び, $\{ f(x)|x \in X\}$ を $f$ の値域(range)と呼ぶ.
(2)
写像 $f:X \to Y,$ $f:X\to Y$ に対して, 任意の $x \in X$ に対して $f(x) = g(x)$ が成り立つとき, $f$ と $g$ は等しいといい, $f = g$ と表す.
(3)
$\mathrm{id}_X(x) = x$ により定まる写像 $\mathrm{id}_X:X\to X$ を $X$ 上の恒等写像(identitiy map)と呼ぶ.

補足≪厳密な写像の定義≫

 厳密には, 写像 $f:X\to Y$ は, 各 $x \in X$ に対して \[\#\{ y \in Y|(x,y) \in \mathit\Gamma\} = 1\] を満たすような集合 $\mathit\Gamma \subset X\times Y$ として定義される. このとき, 各 $x \in X$ に対して $(x,y) \in \mathit\Gamma$ なる唯一の $y \in Y$ を $f(x)$ とかく.

写像の像

定義≪写像の像≫

 $f:X \to Y$ を写像とする. 集合 $A \subset X$ に対して, 集合 $\{ f(x)|x \in A\}$ を $f$ による $A$ の(image)と呼び, $f(A)$ で表す. $f(X)$ は単に $f$ のと呼ばれる.

命題≪写像の像の基本的性質≫

 写像 $f:X\to Y$ と集合 $A,$ $A' \subset X,$ および $X$ の部分集合族 $(A_i)_{i \in I}$ に対して, 次が成り立つ.
(1)
$A \subset A'$ $\Longrightarrow$ $f(A) \subset f(A').$ 
(2)
$f\left(\bigcup\limits_{i \in I}A_i\right) = \bigcup\limits_{i \in I}f(A_i).$ 
(3)
$f\left(\bigcap\limits_{i \in I}A_i\right) \subset \bigcap\limits_{i \in I}f(A_i).$ $f$ が単射ならば, 等号が成り立つ.
(4)
$f(X\setminus A) \supset Y\setminus f(A).$ 

注意

  • (3) の逆側の包含関係 $f\left(\bigcap\limits_{i \in I}A_i\right) \subset \bigcap\limits_{i \in I}f(A_i)$ は必ずしも成り立たない. 例えば, $X = \{ 1,2\},$ $Y = \{ 0\},$ $f(1) = f(2) = 0$ により定まる写像 $f:X\to Y$ と $X$ の部分集合 $A_1 = \{ 1\},$ $A_2 = \{ 2\}$ について, \begin{align*} f(A_1\cap A_2) &= f(\varnothing ) = \varnothing, \\ f(A_1)\cap f(A_2) &= \{ 0\}\cap\{ 0\} = \{ 0\} \end{align*} であり, $f(A_1\cap A_2) \not\subset f(A_1)\cap f(A_2)$ である.
  • (4) の逆側の包含関係 $f(X\setminus A) \subset Y\setminus f(A)$ は必ずしも成り立たない. 例えば, $X = \{ 1,2\},$ $Y = \{ 0\},$ $f(1) = f(2) = 0$ により定まる写像 $f:X\to Y$ と $X$ の部分集合 $A = \{ 1\}$ について, \begin{align*} f(X\setminus A) &= f(\{ 2\}) = \{ 0\}, \\ f(X)\setminus f(A) &= \{ 0\}\setminus\{ 0\} = \varnothing \end{align*} であり, $f(X\setminus A) \not\subset f(X)\setminus f(A)$ である.

写像の逆像

定義≪写像の逆像≫

 $f:X \to Y$ を写像とする. 集合 $B \subset Y$ に対して, 集合 $\{ x \in X|f(x) \in B\}$ を $f$ による $B$ の逆像(inverse image)と呼び, $f^{-1}(B)$ で表す.

命題≪写像の逆像の基本的性質≫

 写像 $f:X\to Y$ と集合 $B,$ $B' \subset Y,$ および $Y$ の部分集合族 $(B_j)_{j \in J}$ に対して, 次が成り立つ.
(1)
$B \subset B'$ $\Longrightarrow$ $f^{-1}(B) \subset f^{-1}(B').$ 
(2)
$f^{-1}\left(\bigcup\limits_{j \in J}B_j\right) = \bigcup\limits_{j \in J}f(B_j).$ 
(3)
$f^{-1}\left(\bigcap\limits_{j \in J}B_j\right) = \bigcap\limits_{j \in J}f(B_j).$ 
(4)
$f^{-1}(Y\setminus B) = X\setminus f^{-1}(B).$ 

命題≪像の逆像, 逆像の像≫

 写像 $f:X\to Y$ と集合 $A \subset X,$ $B \subset Y$ に対して, 次が成り立つ.
(a)
$f^{-1}(f(A)) \supset A.$ $f$ が単射ならば, 等号が成り立つ.
(b)
$f(f^{-1}(B)) \subset B.$ $f$ が全射ならば, 等号が成り立つ.

全射, 単射と全単射

定義≪全射と単射≫

 $f:X\to Y$ を写像とする.
(1)
$f(X) = Y$ が成り立つとき, $f$ を全射(surjection)という.
(2)
任意の $x,$ $x' \in X$ に対して $f(x) = f(x') \Longrightarrow x = x'$ が成り立つとき, $f$ を単射(injection)という.
(3)
$f$ が全射でも単射でもあるとき, $f$ を全単射(bijection)という. $X$ から $X$ への全単射は, $X$ 上の置換とも呼ばれる.

定義≪合成写像≫

 写像 $f:X \to Y,$ $g:Y \to Z$ に対して, \[ (g\circ f)(x) = g(f(x))\] により定まる写像 $g\circ f:X \to Z$ を $f$ と $g$ の合成写像(composite)と呼ぶ.

命題≪全単射性の特徴付け≫

 写像 $f:X\to Y$ に対して,
(1)
$f\circ g = \mathrm{id}_Y$ を満たす写像 $g:Y\to X$ が存在するならば, $f$ は全射である.
(2)
$f$ が単射である $\iff$ $g\circ f = \mathrm{id}_X$ を満たす写像 $g:Y\to X$ が存在する.
(3)
次は同値である.
(i)
$f$ は全単射である.
(ii)
$g\circ f = \mathrm{id}_X,$ $f\circ g = \mathrm{id}_Y$ を満たす写像 $g:Y\to X$ が存在する.
(ii)'
$g\circ f = \mathrm{id}_X,$ $f\circ g = \mathrm{id}_Y$ を満たす写像 $g:Y\to X$ が唯 $1$ つ存在する.

定義≪合成写像≫

 写像 $f:X \to Y$ に対して, (ii)' のような写像 $g:Y\to X$ を $f$ の逆写像(inverse)と呼び, $f^{-1}$ で表す.

命題≪全射性・単射性の十分条件≫

 写像 $f:X\to Y,$ $g:Y\to X$ に対して, 次が成り立つ.
(a)
$g\circ f$ が全射ならば, $g$ は全射である.
(b)
$g\circ f$ が単射ならば, $f$ は単射である.

証明

(a)
$g\circ f$ が全射であるとき, $g(Y) \supset g(f(X)) = X$ から $g(Y) = X$ であるので, $g$ は全射である.
(b)
$g \circ f$ が単射であるとする. このとき, $x,$ $x' \in X$ に対して $f(x) = f(x')$ であるとすると, \[ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(f(x')) = (g\circ f)(x')\] となるから, $x = x'$ となる. これは $f$ が単射であることを意味する.

補足

 次の $2$ つのことも成り立つ.
(a)
$g\circ f$ が全射で $g$ が単射ならば, $f$ は全射である.
(b)
$g\circ f$ が単射で $f$ が全射ならば, $g$ は単射である.

命題≪元の個数が等しい有限集合の間の全単射≫

 集合 $X,$ $Y$ が同じ個数の元からなるとき, 写像 $f:X\to Y$ に対して, 次は同値である.
(i)
$f$ は全単射である.
(ii)
$f$ は全射である.
(iii)
$f$ は単射である.