COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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融合問題(代数学分野)

融合問題

問題≪チェビシェフの多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
すべての実数 $\theta$ に対して \[\begin{cases} \cos n\theta = T_n(\cos\theta ) & \cdots [1], \\ \sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta & \cdots [2] \end{cases}\] を満たす整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ と整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ が存在する.
(2)
$T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.
[1996 京都大*]

解答例

(1)
題意を示す代わりに, より強い命題
「(1) かつ $T_n(x),$ $U_n(x)$ の最高次の項の係数は正」$\cdots$(1)'
を数学的帰納法で示す.
(i)
$n = 1$ のとき. $T_1(x) = x,$ $U_1(x) = 1$ は (1)' を満たす.
(ii)
$n = k$ ($k$: 正の整数)のとき, (1)' が成り立つとする.
このとき, \begin{align*} &\cos (k+1)\theta = \cos (k\theta +\theta ) \\ &= \cos k\theta\cos\theta -\sin k\theta\sin\theta \\ &= T_k(\cos\theta )\cos\theta -U_k(\cos\theta )\sin ^2\theta \\ &= T_k(\cos\theta )\cos\theta +U_k(\cos\theta )(\cos ^2\theta -1), \\ &\sin (k+1)\theta = \sin (k\theta +\theta ) \\ &= \sin k\theta\cos\theta +\cos k\theta\sin\theta \\ &= U_k(\cos\theta )\sin\theta\cos\theta +T_k(\cos\theta )\sin\theta \\ &= \{ U_k(\cos\theta )\cos\theta +T_k(\cos\theta )\}\sin\theta \end{align*} から, \begin{align*} T_{k+1}(x) &= T_k(x)x+U_k(x)(x^2-1), \\ U_{k+1}(x) &= U_k(x)x+T_k(x) \end{align*} は $n = k+1$ の場合の $[1]$ と $[2]$ を満たす. また, $T_k(x)$ と $U_k(x)$ は整数係数であるから, $T_{k+1}(x)$ と $U_{k+1}(x)$ も整数係数である. さらに, $T_k(x)$ の $x^k$ の係数と $U_k(x)$ の $x^{k-1}$ の係数は正であるから, $T_{k+1}(x)$ の $x^{k+1}$ の係数と $U_{k+1}(x)$ の $x^k$ の係数は正であり, $T_{k+1}(x)$ は $k+1$ 次で $U_{k+1}(x)$ は $k$ 次である.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して, (1)' が成り立つので, (1) が成り立つ.
(2)
$[1]$ の両辺を $\theta$ で微分すると, \[ -n\sin n\theta = -T_n{}'(\cos\theta )\sin\theta\] となる. $[2]$ を代入すると, \[ T_n{}'(\cos\theta )\sin\theta = nU_n(\cos\theta )\sin\theta\] を得る. よって, $\sin\theta \neq 0$ なるすべての実数 $\theta$ に対し, したがって $\cos\theta$ の相異なる $n$ 個の値に対して \[ T_n{}'(\cos\theta ) = nU_n(\cos\theta )\] が成り立つ. $T_n{}'(x)$ と $nU_n(x)$ は $n-1$ 次多項式であるから, $T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.

別解 1

(1)
$c = \cos\theta,$ $s = \sin\theta$ とおく. ド・モアブルの定理と二項定理により, \begin{align*} &\cos n\theta +i\sin n\theta = (c+si)^n \\ &= \sum_{k = 0}^n{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &\qquad +\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(-s^2)^{\frac{k}{2}} \\ &\qquad +\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(-s^2)^{\frac{k-1}{2}}(si) \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k}{2}} \\ &\qquad +is\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} が成り立つ. ここで, 右辺の和の記号は, それぞれ $0 \leqq k \leqq n$ なるすべての偶数, 奇数 $k$ にわたる和を表す. 両辺の実部, 虚部をそれぞれ比較すると, \begin{align*} \cos n\theta &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k}{2}}, \\ \sin n\theta &= s\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} となる. よって, 多項式 \begin{align*} T_n(x) &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-k}(x^2-1)^{\frac{k}{2}},\\ U_n(x) &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-k}(x^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} は $\cos n\theta = T_n(\cos\theta ),$ $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ を満たす. $T_n(x),$ $U_n(x)$ の最高次の項はそれぞれ \[\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kx^n, \quad \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-1}\] に等しいので, $T_n(x)$ は $n$ 次, $U_n(x)$ は $n-1$ 次の整数係数多項式である.

別解 2

(1)
加法定理により \begin{align*} \cos (n+2)\theta &= \cos (n+1)\theta\cos\theta -\sin (n+1)\theta\sin\theta, \\ \cos n\theta &= \cos (n+1)\theta\cos\theta +\sin (n+1)\theta\sin\theta, \\ \sin (n+2)\theta &= \sin (n+1)\theta\cos\theta -\cos (n+1)\theta\sin\theta, \\ \sin n\theta &= \sin (n+1)\theta\cos\theta +\cos (n+1)\theta\sin\theta \end{align*} から \begin{align*} \cos (n+2)\theta &= 2\cos (n+1)\theta\cos\theta -\cos n\theta, \\ \sin (n+2)\theta &= 2\sin (n+1)\theta\cos\theta -\sin n\theta \end{align*} が成り立つ. そこで, 初期条件 $T_1(x) = x,$ $T_2(x) = 2x^2-1,$ $U_1(x) = 1,$ $U_2(x) = 2x$ と漸化式 $T_{n+2}(x) = 2T_{n+1}(x)x-T_n(x),$ $U_{n+2}(x) = 2U_{n+1}(x)x-U_n(x)$ によって $n$ 次多項式 $T_n(x),$ $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ を順次定めると, $[1],$ $[2]$ を満たす整数係数多項式が得られる.

背景

 各正の整数 $n$ に対し, $\cos n\theta$ はある $n$ 次多項式 $T_n(x)$ を用いて $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ と表すことができる. $\cos n\theta$ とは違い, $\sin n\theta$ は $\cos\theta,$ $\sin\theta$ の一方のみの多項式として表せるとは限らないが, ある多項式 $U_n(x)$ を用いて $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ と表すことができる. $T_n(x),$ $U_n(x)$ は, それぞれ「第一種チェビシェフ多項式」,「第二種チェビシェフ多項式」と呼ばれ, あわせて「チェビシェフ多項式」(Chebyshev polynomial)と呼ばれる. これを次数の低い順に書き出していくと, \begin{align*} T_1(x) &= x, \!\!\!\!&\!\!\!\! U_1(x) &= 1, \\ T_2(x) &= 2x^2-1, \!\!\!\!&\!\!\!\! U_2(x) &= 2x, \\ T_3(x) &= 4x^3-3x, \!\!\!\!&\!\!\!\! U_3(x) &= 4x^2-1, \\ T_4(x) &= 8x^4-8x^2+1, \!\!\!\!&\!\!\!\! U_4(x) &= 8x^3-4x, \\ T_5(x) &= 16x^5-20x^3+5x, \!\!\!\!&\!\!\!\! U_5(x) &= 16x^4-12x^2+1, \\ \vdots\quad& \!\!\!\!&\!\!\!\! \vdots\quad& \end{align*} のようになる.

問題≪チェビシェフの多項式の存在≫

 $T_0(x) = 1,$ $T_1(x) = x$ と漸化式 \[ T_{n+2}(x) = 2T_{n+1}(x)x-T_n(x)\] により多項式 $T_n(x)\ (n \geqq 0)$ を定める.
(1)
すべての非負整数 $n,$ 実数 $\theta$ に対して \[ T_n(\cos\theta ) = \cos n\theta \quad \cdots [P]\] が成り立つことを数学的帰納法で示せ.
(2)
$m$ を正の数とする. $T_m(x) = 0$ の実数解を余弦の値で表せ.
(3)
$T_n(x)$ を $x$ の関数とみなすとき, $n$ が偶数のとき $T_n(x)$ は偶関数であり, $n$ が奇数のとき $T_n(x)$ は奇関数であることを示せ.
(4)
$n \geqq 2$ のとき, $n$ の正の約数 $m$ について $\dfrac{n}{m}$ が奇数であるならば, $T_m(x)$ は $T_n(x)$ を割り切ることを示せ.

解答例

(1)
(i)
$T_0(\cos\theta ) = 1 = \cos 0,$ $T_1(\cos\theta ) = \cos\theta$ から, $n = 0,$ $1$ のとき $[P]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k,$ $k+1$ ($k$: 非負整数)のとき $[P]$ が成り立つとすると, 積和の公式により \begin{align*} T_{k+2}(\cos\theta ) &= 2T_{k+1}(\cos\theta )\cos\theta-T_k(\cos\theta ) \\ &= 2\cos (k+1)\theta\cos\theta -\cos k\theta \\ &= \cos (k+2)\theta +\cos k\theta -\cos k\theta \\ &= \cos (k+2)\theta \end{align*} となり, $n = k+2$ のとき $[P]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての非負整数 $n$ に対して $[P]$ が成り立つ.
(2)
$T_m(x) = 0$ の解を $x = \cos\theta\ (0 \leqq \theta < 2\pi )$ とおくと, (1) から $\cos m\theta = 0$ となり, \[ m\theta = (2k-1)\frac{\pi}{2}\] つまり \[\theta = \frac{2k-1}{m}\cdot\frac{\pi}{2} \quad (k = 1,\ \cdots,\ m)\] となるので, $x$ は \[ x = \cos\left(\frac{2k-1}{m}\cdot\frac{\pi}{2}\right) \quad (k = 1,\ \cdots,\ m)\] と表される. $m$ 次方程式は $m$ 個以下の解しかもたないから, これが解のすべてである.
(3)
題意を示すには, \[ T_n(-x) = (-1)^nT_n(x) \quad \cdots [Q]\] が成り立つことを示せばよい.
(i)
$T_0(-x) = 1 = T_0(x),$ $T_1(-x) = -x = -T_1(x)$ から, $n = 0,$ $1$ のとき $[Q]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k,$ $k+1$ ($k$: 非負整数)のとき $[Q]$ が成り立つとすると, \begin{align*} T_{k+2}(-x) &= 2T_{k+1}(-x)\cdot (-x)-T_k(-x) \\ &= -2(-1)^{k+1}T_{k+1}(x)x-(-1)^kT_k(x) \\ &= (-1)^{k+2}\{ 2T_{k+1}(x)x-T_k(x)\} \\ &= (-1)^{k+2}T_{k+2}(x). \end{align*} となり, $n = k+2$ のとき $[Q]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての非負整数 $n$ に対して $[Q]$ が成り立つ. これで, 題意が示された.
(4)
$q = \dfrac{n}{m}$ とおき, $1 \leqq k \leqq m$ なる各整数 $k$ に対して $\theta _k = \dfrac{2k-1}{m}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ とおくと, (1) で示したことと $T_q(x)$ が奇関数であることから, \begin{align*} T_n(\cos\theta _k) &= \cos n\theta _k = \cos q(m\theta _k) = T_q(\cos m\theta _k) \\ &= T_q(T_m(\cos\theta _k)) = T_q(0) = 0 \end{align*} となる. よって, 因数定理により $x-\cos\theta _k\ (1 \leqq k \leqq m)$ は $T_n(x)$ を割り切る. ゆえに, $T_m(x)$ は $T_n(x)$ は割り切る.