COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

融合問題(代数学分野)

融合問題

問題≪チェビシェフの多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
すべての実数 $\theta$ に対して \[\begin{cases} \cos n\theta = T_n(\cos\theta ) & \cdots [1], \\ \sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta & \cdots [2] \end{cases}\] を満たす整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ と整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ が存在する.
(2)
$T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.
[1996 京都大*]

解答例

 こちらを参照.