COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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融合問題(整数論分野)

融合問題

問題≪フェルマーの小定理≫

 $p$ を素数とし, $k$ を $p-1$ 以下の正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
$k\,{}_p\mathrm C_k = p\,{}_{p-1}\mathrm C_{k-1}$ が成り立つ.
(2)
${}_p\mathrm C_k$ は $p$ の倍数である.
(3)
各整数 $a$ に対して, $a^p-a$ は $p$ の倍数である.
[奈良女子大*]

解答例

 こちらを参照.

問題≪ピタゴラス数を表す公式≫

 点 $\mathrm A(-1,0)$ を通る傾き $t$ の直線と単位円の交点 $\mathrm P(x,y)$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$t$ を用いて $x,$ $y,$ $\dfrac{1-x}{1+x}$ を表せ.
(2)
$x,$ $y$ が有理数のとき, $t$ は有理数であることを示せ.
(3)
$t$ が正の有理数のとき, $x,$ $y$ は互いに素なある正の整数 $m,$ $n$ を用いて \[ x = \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}, \quad y = \frac{2mn}{m^2+n^2} \quad \cdots [\text A]\] と表されることを示せ.
 また, 互いに素な整数 $a,$ $b,$ $c$ が $a^2+b^2 = c^2$ を満たすとき, 次のことを示せ.
(4)
$a,$ $b$ の偶奇は異なる.
(5)
$a$ が奇数のとき, $a,$ $b,$ $c$ は互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m,$ $n\ (m > n)$ を用いて \[ a = m^2-n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2+n^2 \quad \cdots [\text B]\] と表される.

解答例

 こちらを参照.