COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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メッセージ

数学の不変性

 真理とは何でしょうか. それは時の流れにかかわらず変わらない物事に関する知識と言えるでしょう. もちろん人によっても国によっても変わらないものです. 一度明らかにされた真理は, 理解に要する時間に個人差があっても, ある人には理解できてある人には理解できないということはありません. 証明によって得られる数学の各定理とそれから導かれる諸結果もすべて真理です. あきらめずに必要なステップを踏めば, 数学は必ず理解できます. 時間の問題を除けば, 明らかにされている真理を理解できるかどうかは, あなたの選択次第なのです.

数学の考え方

便利な記号に感謝

 数学では主張を明確にし, 誤解の恐れを排除するために, さまざまな現象を記号を使って表現します. 数学の記号は無機質だと言われることもありますが, 中世の数学書や和算の本を見れば, 記号の導入によって表現がどれほど簡単になったかが分かるでしょう. これはシンプルな表現を追求する結果として生まれたものなのです.

良問を解く

 このサイトでは, 次のような問題を「良問」と呼んでいます.
  • 問題文がシンプルで, その答えが美しい.
  • 新しい解法のテクニックを身につけるのに効果的である.
  • 論理的思考力の鍛錬に良い.
  • 重要な数学的背景を持ち, 含蓄がある. または, 数学の発展に大きな寄与があった.
  • 答えそのものに重要な応用がある.
このような問題を通じて, 数学という不変の真理を学ぶ楽しさ・知る喜びを感じていただけると信じています.

理解へのステップ

数学は登山に似ている

 数学に苦手意識を持っている人の中に数学はできる人がやる学問だという人がいますが, 数学は「やる人ができる学問」です. 数学の勉強は登山によく似ています. 山頂から景色を見るためには, 誰もが一歩ずつ進まなければなりません. ふもとから山頂にワープすることもできませんし, 人の話を聞いても自分で登らなければそこに行ったことにはならないのです. 険しい道のりもあっていつも楽しいことばかりではありませんが, 登りきった人だけが山頂からの壮大な眺めを味わうことができます.

主張を理解する

 数学の解説を読んでも理解できないときは, まず主張を理解するために, 登場する用語の定義を教科書・参考書・専門書・論文・ノート等で確認しましょう. 簡単な具体例を挙げてどのようなことを言っているのかを把握することも, 理解の大きな手助けとなります.

主張が成り立つ理由を理解する

 主張が理解できたら, それが成り立つ理由を理解するステップに移ります. 具体的には, どの定理・公式を適用すれば結論が得られるのかを調べたり, 省略されている計算を補ったりします. 行間を埋める作業は一筋縄ではいかない場合も多いので, 忍耐が求められます. $30$ 分以上考えても何も進展がないような場合は, 詳しい人に質問した方が良いでしょう. その場合でも, 自分で頭・手を動かしてその人の説明が正しいかどうかを確かめなければ, 理解したことにはなりません. 試行錯誤をしながら自分で考えるという能動的な学びが真の理解には不可欠なのです.

人に説明できるようにまとめる

 すべて理解できたと思ったら, 自分でそれを人に説明できるように整理しながら, 本当に理解できたかどうかを確認します. 時間が許せば, 何も見ずに説明できるようになるまで, これを繰り返します. このような状態になれば, 理解が自分のものになったと言えるでしょう.

数学の解答に関する注意

 数学の解答では適宜, 途中の計算が省略されます. 解答とは, 解を導く過程すべてを記述するものではないということに注意してください. もちろん解答を完全に理解するには, 省略された部分を含めて, すべての計算を計算用紙の上か頭の中かで行わなければなりません. 省略される計算は, 加減乗除の計算, 多項式の展開・因数分解などさまざまですが, 原則として基礎的で計算方法が明らかなものに限ります. このような部分の記述量を減らすことで, 主要な部分・難しい部分を強調するという意図があります.
 数学の解答を読む上で, 多くの人は途中の計算を自力で補うための訓練が必要です. そのためにも, 教科書の問題等で, 基礎的な計算練習を十分に積まれるようにお勧めします.

数学を通して身につく能力

論理的思考力・問題解決力:

情報収集力
課題の解明のために, さまざまな情報や調査結果の中から必要な手がかりを集めて, 役立てることができる.
整理力
乱れた状態から, 重要なものを見出し, 不必要なものを取り除いて, 秩序を整えることができる.
分析力
物事をいくつかの要素, 段階に分けて, その構成を細かい点まではっきりさせることができる.
洞察力
鋭い観察力から, 物事の本質や問題の根本原因を見抜くことができる.
発想力
新しい考え方を見出し, それを実現するための良い方策をあれこれ考える創意工夫の力がある.
応用力
理論や既に得た知識, 経験を, 具体的な問題や未知の分野に当てはめて活用することができる.
判断力
問題解決のために選ぶべき手段を的確に判断することができる.
表現力
複雑な考えでも, 分かりやすい言葉を使い, 客観的に的確な説明をすることができる.

精神的な強さ:

受容力
経験を問わず,新しい考え方や自分と異なる考え方を積極的に受け入れることができる.
忍耐力
思い通りに作業が進まないなど, 困難な状況にあっても, 粘り強く最後まで問題に取り組むことができる.
誠実さ
目標を達成するために求められる犠牲に対して覚悟を決め, 問題に真摯に取り組むことができる.
行動力
状況に応じて, 成すべきことを着実に実行に移すことができる.
向上心
失敗から教訓を得て, 成功に向かって努力を惜しまず, 前向きに進むことができる.
挑戦心
能力の限界を見定めず, 失敗を恐れずに, 果敢に未知の領域に挑戦するチャレンジャーの精神がある.

精神的な豊かさ:

美的感性
美しいものを美しいと感じ, 感覚的に優れたものを選ぶことができる.
思いやり
読者や聞き手, 特に初学者や専門外の人の立場に立って, 難しい内容についても配慮の行き届いた説明や指導を行うことができる.
広い視野
物事の全体像や全体の流れを把握し, その意味を多角的に捉えることができる.

Be Simple, Be Smart!

 このホームページでは, 数学的な真理をできるだけシンプルに, スマートに紹介することを最大の目的の $1$ つとしています. わたし自身も, 忙しい毎日を送っていますが, シンプルに, スマートに生活することを心掛けています. 「忙しくて大変だけど, どれも大事だからこれ以上やることを減らせない」という人でも, シンプルな生活につながる工夫をさまざまな方法で行うことができます. ここでは, いくつかのヒントを紹介します.
  • 一致, 協力する, 委任する
  • 友好関係を築く
  • 赦す, 寛大になる
  • 話を聞く(相手の疑問を解消する)
  • 質問する(自分の疑問を解消する)
  • 隣人を助け, 彼らの環境を整える
  • 約束を守る
  • 正直である
  • よく準備する, 貯蓄する(将来の自分を助ける)
  • 勤勉である, 集中する, 技術の精度を高める
  • テクノロジーを活用する
  • 記録をとり, 情報を管理する
  • 人の注意に耳を傾け, 人の考えを取り入れる
  • 書物から学ぶ
  • 無駄を省く, 節約する
  • 予定を管理する, 先延ばしにしない
  • 優先順位を決めて, 適切な計画を立てる
  • 規則正しい生活をする
  • 整理整頓をする, 清潔にする
  • 居・食・住の環境を整える
  • 危険を排除, 回避する
  • 常に祈り, 主に頼る