COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

ニュートン法

ニュートン法

定理≪ニュートン法≫

 閉区間 $[a,b]$ で定義された実数値関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ で $f''(x) > 0$ を満たし, $f(a)f(b) < 0$ であるとする. さらに, $f(x_1) > 0$ なる実数 $x_1 \in (a,b)$ をとり, 点 $(x_n,f(x_n))$ における曲線 $y = f(x)$ の接線の $x$ 切片を $(x_{n+1},0)$ として, 数列 $\{ x_n\}$ を定める. このとき, 数列 $\{ x_n\}$ は $f(x) = 0$ のただ $1$ つの解に収束する.

問題

数学 III: 極限

問題≪ニュートン法≫

 $d > 1,$ $x_1 > \sqrt d$ とし, 点 $(x_n,x_n{}^2-d)$ における放物線 $y = x^2-d$ の接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とおくことで, 数列 $\{ x_n\}$ を定める.
(1)
$x_{n+1} = \dfrac{x_n{}^2+d}{2x_n}$ が成り立つことを示せ.
(2)
$x_{n+1}-\sqrt d < \dfrac{x_n-\sqrt d}{2}$ が成り立つことを示せ.
(3)
$\lim\limits_{n \to \infty}x_n = \sqrt d$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.