COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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特殊な漸化式

特殊な漸化式

問題≪シルベスター数列の漸化式≫

 $a_1 = 2,$ $a_{n+1} = a_n{}^2-a_n+1$ で定まる数列 $\{ a_n\}$ について, 次のことを示せ.
(1)
$a_{n+1} = 1+a_1\cdots a_n$ が成り立つ.
(2)
\begin{align*} \frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n} &= 1-\frac{1}{a_1\cdots a_n} = 1-\frac{1}{a_{n+1}-1} \\ &= 1-\frac{1}{a_n(a_n-1)} \end{align*} が成り立つ.

解答例

(1)
$a_{n+1} = 1+a_1\cdots a_n\ \cdots [1]$ を数学的帰納法で示す.
(i)
$a_1 = 2$ から $a_2 = a_1{}^2-a_1+1 = 2^2-2+1 = 3$ であるので, $1+a_1 = 1+2 = 3 = a_2$ が成り立つ.
よって, $n = 1$ のとき $[1]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k$ ($k$: 正の整数)のとき $[1]$ が成り立つとすると, \begin{align*} a_{k+2} &= a_{k+1}{}^2-a_{k+1}+1 \\ &= (1+a_1\cdots a_k)^2-(1+a_1\cdots a_k)+1 \\ &= 1+2a_1\cdots a_k+(a_1\cdots a_k)^2 \\ &\qquad -1-a_1\cdots a_k+1 \\ &= 1+a_1\cdots a_k+(a_1\cdots a_k)^2 \\ &= 1+a_1\cdots a_k(1+a_1\cdots a_k) \\ &= 1+a_1\cdots a_ka_{k+1} \end{align*} となり, $n = k+1$ のとき $[1]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $[1]$ が成り立つ.
(2)
$\dfrac{1}{a_1}+\cdots +\dfrac{1}{a_n} = 1-\dfrac{1}{a_1\cdots a_n}\ \cdots [2]$ を数学的帰納法で示す.
(i)
$1-\dfrac{1}{a_1} = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{a_1}$ であるから, $n = 1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k$ ($k$: 正の整数)のとき $[2]$ が成り立つとすると, その両辺に $\dfrac{1}{a_{k+1}}$ を加えることで, $[1]$ から \begin{align*} \frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_k}+\frac{1}{a_{k+1}} &= 1-\frac{1}{a_1\cdots a_k}+\frac{1}{a_{k+1}} \\ &= 1-\frac{a_{k+1}-a_1\cdots a_k}{a_1\cdots a_ka_{k+1}} \\ &= 1-\frac{1}{a_1\cdots a_ka_{k+1}} \end{align*} となり, $n = k+1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つ.
また, $[1]$ と定義の漸化式から \begin{align*} &1-\frac{1}{a_1\cdots a_n} = 1-\frac{1}{a_{n+1}-1} \\ &= 1-\frac{1}{a_n{}^2-a_n+1-1} = 1-\frac{1}{a_n(a_n-1)} \end{align*} が成り立つ.

背景

  • 古代エジプトにおいて, 分数は相異なる「単位分数」(分子が $1$ の分数, unit fraction)の和として表されていた. このように表された有理数を「エジプト分数」(Egyptian fraction)と呼ぶ.
  • 項数が $n$ の場合の $1$ 未満の「エジプト分数」の最大値を求めるという問題は, 次のように解決されている: 連立不等式 \[\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n} < 1, \quad 0 < x_1 < \cdots < x_n\] の整数解に対し, $\dfrac{1}{x_1}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}$ は \[ a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n{}^2-a_n+1 \quad \cdots [*]\] で定まる数列 $\{ a_n\}$ について $(x_1,\cdots,x_n) = (a_1,\cdots,a_n)$ であるとき最大値 $1-\dfrac{1}{a_n(a_n-1)}$ をとる(シルベスターの定理; $n = 2,$ $3$ の場合はこちらを参照). $[*]$ で定まる数列 $\{ a_n\}$ は「シルベスター数列」と呼ばれる. 本問では,「シルベスター数列」$\{ a_n\}$ を特徴づけるもう $1$ つの漸化式 \[ a_{n+1} = 1+a_1\cdots a_n\] を導いて, \[\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n} = 1-\frac{1}{a_n(a_n-1)}\] であることを示した.