COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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高階常微分方程式

理論

線形常微分方程式

 準備中.

問題

線形常微分方程式

問題≪定数係数 $2$ 階線形斉次微分方程式≫

 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(a)
$y''-y'-2 = 0 \quad \cdots [a].$ 
(b)
$y''-4y'+4 = 0 \quad \cdots [b].$ 
(c)
$y''-6y'+25 = 0 \quad \cdots [c].$ 

解答例

(a)
$[a]$ の特性多項式 $\lambda ^2-\lambda -2 = 0$ を解くと, $(\lambda +1)(\lambda -2) = 0$ より, \[\lambda = -1,\ 2.\] よって, $[a]$ の基本解は $y = e^{-x},$ $e^{2x}$ だから, 一般解は \[ y = c_1e^{-x}+c_2e^{2x}.\]
(b)
$[b]$ の特性多項式 $\lambda ^2-4\lambda +4 = 0$ を解くと, $(\lambda -2)^2 = 0$ より, \[\lambda = 2.\] よって, $[b]$ の基本解は $y = e^{2x},$ $xe^{2x}$ だから, 一般解は \[ y = (c_1+c_2x)e^{2x}.\]
(c)
$[c]$ の特性多項式 $\lambda ^2-6\lambda +25 = 0$ を解くと, \[\lambda = 3\pm 4\sqrt{-1}.\] よって, $[b]$ の基本解は $y = e^{3x}\cos 4x,$ $e^{3x}\sin 4x$ だから, 一般解は \[ y = e^{3x}(c_1\cos 4x+c_2\sin x).\]
ここで, $c_1,$ $c_2$ は任意の定数.

問題≪$2$ 階斉次微分方程式≫

 次の微分方程式の一般解を求めよ. \[ yy''-(y')^2-2y^2 = 0 \quad \cdots [\ast ].\]

解答例

 $y \neq 0$ のとき. $y = \pm e^u$ とおく. $y' = e^uu',$ $y'' = e^u(u''+(u')^2)$ を $[\ast ]$ に代入すると, \[ e^{2u}(u''+(u')^2)-e^{2u}(u')^2-2e^{2u} = 0.\] 両辺を $e^{2u}$ で割って整理すると, \[ u'' = 2.\] よって, \[ u' = 2x+a, \quad u = x^2+ax+b\] だから, \[ y = \pm e^be^{x^2+ax} \quad \cdots [1].\] ただし, $a,$ $b$ は任意の定数. $y = 0$ も $[\ast ]$ の解であり, $y = 0$ は $[1]$ において $\pm e^b$ の部分を $0$ に置き換えて得られるから, $[\ast ]$ の一般解は \[ y = c_1e^{x^2+c_2x}.\] ただし, $c_1,$ $c_2$ は任意の定数.

解説

 このように微分方程式 $f(x,\ y,\ y',\ y'') = 0$ が \[ f(x,\ \lambda y,\ \lambda y',\ \lambda y'') = \lambda ^mf(x,\ y,\ y',\ y'')\] を満たすとき, 斉次または同次(homogeneous)であるという. このとき, $0$ でない解を $y = \pm e^u$ とおけば \[ g(x,\ u',\ u'') = 0\] の形の微分方程式が得られる.

問題≪階数低減法≫

 $y_1 = x$ が $1$ つの解であることに着目して, 次の微分方程式の一般解を求めよ. \[ (1+x^2)y''-2xy'+2y = 0.\]

解答例

 代入により, $y_1 = x$ は与式の解であることが分かる. $y = ux$ が与式の解であるとする. これと $y' = u'x+u,$ $y'' = u''x+2u'$ を与式に代入して整理すると, \[ x(1+x^2)u''+2u' = 0\] より $\dfrac{u''}{u'} = -\dfrac{2}{x(1+x^2)}$ となり $\log u' = \displaystyle\int\frac{-2}{x(1+x^2)}dx$ となるから, \begin{align*} u &= \int\exp\left(\int\frac{-2}{x(1+x^2)}dx\right) dx \\ &= \int\exp\left(\int\left(\frac{2x}{1+x^2}-\frac{2}{x}\right)dx\right) dx \\ &= \int\exp (\log (1+x^2)-2\log x+a_0)dx \\ &= \int\exp\left(\log\frac{1+x^2}{x^2}+a_0\right) dx \\ &= \int a_1\left( 1+\frac{1}{x^2}\right) dx \quad (a_1 = e^{a_0})\\ &= a_1\left( x-\frac{1}{x}\right) +a_2 \end{align*} ただし, $a_1$ は正の定数, $a_0,$ $a_2$ は任意の定数. $a_1 = 1,$ $a_2 = 0$ として特殊解 \[ y_2 = x\left( x-\frac{1}{x}\right) = x^2-1\] を得る. \[ y_1y_2{}'-y_1{}'y_2 = x\cdot 2x-1\cdot (x^2-1) = x^2+1 \neq 0\] より $y_1,$ $y_2$ は線形独立だから, 与式の一般解は
$y = c_1x+c_2(x^2-1)$ ($c_1,$ $c_2$: 任意の定数).

問題≪Euler-Cauchy 型の $2$ 階微分方程式≫

 次の微分方程式の一般解を求めよ. \[ x^2y''-xy'+y = 0\ (x > 0).\]

解答例

 代入により, $y_1 = x$ は与式の解であることが分かる. $y = ux$ が与式の解であるとする. これと $y' = u'x+u,$ $y'' = u''x+2u'$ を与式に代入して整理すると, \[ x^2(u''+xu') = 0\] より $\dfrac{u''}{u'} = -\dfrac{1}{x}$ となり $\log u' = -\displaystyle\int\frac{dx}{x} = a_0-\log x$ となるから, \begin{align*} u &= \int\exp (a_0-\log x)dx \\ &= a_2\int\frac{dx}{x} \quad (a_2 = e^{a_0}) \\ &= a_1+a_2\log x. \end{align*} ただし, $a_2$ は正の定数, $a_0,$ $a_1$ は任意の定数. $a_1 = 0,$ $a_2 = 1$ として特殊解 \[ y_2 = x\log x\] を得る. \[ y_1y_2{}'-y_1{}'y_2 = x\cdot (1+\log x)-1\cdot x\log x = 1 \neq 0\] より $y_1,$ $y_2$ は線形独立だから, 与式の一般解は
$y = c_1x+c_2x\log x$ ($c_1,$ $c_2$: 任意の定数).

問題≪逆微分演算子の性質≫

 $D$ を微分演算子とする. 任意の $1$ 変数多項式 $P,$ 実数 $\lambda,$ 正整数 $n,$ 微分可能かつ可積分な関数 $f(x)$ に対して, 次の公式が成り立つことを示せ. \begin{align*} D^n\big( f(x)e^{\lambda x}\big) &= e^{\lambda x}(D+\lambda )^nf(x) \quad \cdots [1], \\ \dfrac{1}{P(D)}\big( f(x)e^{\lambda x}\big) &= e^{\lambda x}\dfrac{1}{P(D+\lambda )}f(x) \quad \cdots [2], \\   \dfrac{1}{D-\lambda}f(x) &= e^{\lambda x}\displaystyle\int e^{-\lambda x}f(x)dx \quad \cdots [3]. \end{align*}

解答例

(i)
$n = 1$ のとき, \begin{align*} D\big( f(x)e^{\lambda x}\big) &= e^{\lambda x}Df(x)+\lambda f(x)e^{\lambda x} \\ &= e^{\lambda x}(D+\lambda )f(x) \end{align*} より, $[1]$ が成り立つ.
(ii)
与えられた正整数 $n$ に対して $[1]$ が成り立つとすると, \begin{align*} &D^{n+1}\big( f(x)e^{\lambda x}\big) \\ &= DD^n\big( f(x)e^{\lambda x}\big) = D\big( e^{\lambda x}(D+\lambda )^nf(x)\big) \\ &= e^{\lambda x}D(D+\lambda )^nf(x)+\lambda e^{\lambda x}(D+\lambda )^nf(x) \\ &= e^{\lambda x}(D+\lambda )(D+\lambda )^n f(x) = e^{\lambda x}(D+\lambda )^{n+1}f(x). \end{align*}
(i), (ii) より, 任意の正整数 $n$ に対して $[1]$ が成り立つ. $P(x) = \sum _{i = 0}^na_ix^i$ とすると, \begin{align*} &P(D)\big( f(x)e^{\lambda x}\big) \\ &= \sum\limits_{i = 0}^nD^i\big( f(x)e^{\lambda x}\big) = \sum\limits_{i = 0}^na_ie^{\lambda x}(D+\lambda )^if(x) \quad (\because [1]) \\ &= e^{\lambda x}\sum\limits_{i = 0}^na_i (D+\lambda )^f(x) = e^{\lambda x}P(D+\lambda )f(x). \end{align*} よって, \[ f(x)e^{\lambda x} = \frac{1}{P(D)}e^{\lambda x}P(D+\lambda )f(x).\] $f(x)$ を $\dfrac{1}{P(D+\lambda )}f(x)$ で置き換えると, $[2]$ が得られる. さらに, $[2]$ において $P(x) = D-\lambda$ とし, $f(x)$ を $f(x)e^{-\lambda x}$ に置き換えると, \[\frac{1}{D-\lambda}f(x) = e^{\lambda x}\frac{1}{D}\left( f(x)e^{-\lambda x}\right) = e^{\lambda x}\int f(x)e^{-\lambda x}dx.\]

問題≪$2$ 階線形非斉次微分方程式≫

 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(a)
$y''-3y'+2y = 2e^{3x}.$ 
(b)
$y''-4y'+4y = 7\cos 3x+17\sin 3x.$ 
(c)
$y''-4y'+13y = 13x^2+5x+11.$ 

解答例

(a)
特性方程式 $\lambda ^2-3\lambda +2 = 0$ は実数解 $\lambda = 1,$ $2$ を持つから, 斉次方程式 $y''-3y+2y = 0$ は基本解 $y = e^x,$ $e^{2x}$ を持つ. また, $a$ を定数とする関数 $y = ae^{3x}$ は \[ y' = 3ae^{3x}, \quad y'' = 9ae^{3x}\] より \[ y''-3y'+2y = 2ae^{3x}\] を満たすから, $a = 1$ のとき $y''-3y'+2y = 2e^{3x}$ の特殊解となる. ゆえに, 求める一般解は, \[ y = e^{3x}+c_1e^x+c_2e^{2x}.\]
(b)
特性方程式 $\lambda ^2-4\lambda +4 = 0$ は重解 $\lambda = 2$ を持つから, 斉次方程式 $y''-4y'+4y = 0$ は基本解 $y = e^{2x},$ $xe^{2x}$ を持つ. また, $a,$ $b$ を定数とする関数 $y = a\cos 3x+b\sin 3x$ は \begin{align*} y' &= -3a\sin 3x+3b\cos 3x, \\ y'' &= -9a\cos 3x-9b\sin 3x \end{align*} より \[ y''\!-\!4y'\!+\!4y \!=\! (\!-\!5a\!-\!12b)\cos 3x\!+\!(12a\!-\!5b)\sin 3x\] を満たすから, $a = 1,$ $b = -1$ のとき $y''-4y'+4y = 7\cos 3x+17\sin 3x$ の特殊解となる. ゆえに, 求める一般解は, \[ y = \cos 3x-\sin 3x+c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}.\]
(c)
特性方程式 $\lambda ^2-4\lambda +13 = 0$ は虚数解 $\lambda = 2\pm 3\sqrt{-1}$ を持つから, 斉次方程式 $y''-4y'+13y = 0$ は基本解 $y = e^{2x}\cos 3x,$ $e^{2x}\sin 3x$ を持つ. また, $a,$ $b,$ $c$ を定数とする関数 $y = ax^2+bx+c$ は \[ y' = 2ax+b, \quad y'' = 2a\] より \[ y''\!-\!4y'\!+\!13y \!=\! 13ax^2\!+\!(13b\!-\!8a)x\!+\!(2a\!-\!4b\!+\!13c)\] を満たすから, $a = b = c = 1$ のとき $y''-4y'+13y = 13x^2+5x+11$ の特殊解となる. ゆえに, 求める一般解は, \[ y = x^2+x+1+e^{2x}(c_1\cos 3x+c_2\sin 3x).\]
ただし, $c_1,$ $c_2$ は任意の定数.