COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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整数のその他の問題

整数値をとる多項式

問題≪整数値多項式の特徴づけ≫

 実数係数 $d$ 次多項式 $f(x)$ について, 次の $3$ 条件は同値であることを示せ.
(i)
すべての整数 $n$ に対して, $f(n)$ は整数である.
(ii)
$f(0)$ は整数であり, すべての整数 $n$ に対して $f(n+1)-f(n)$ は整数である.
(iii)
$f(0),$ $\cdots,$ $f(d)$ は整数である.

解答例

 (i) $\Rightarrow$ (ii) は明らか.
 (ii) を仮定すると, すべての正の整数 $n$ に対して \begin{align*} f(n) &\!=\! \{ f(n)\!-\!f(n\!-\!1)\}\!+\!\cdots\!+\!\{ f(1)\!-\!f(0)\}\!+\!f(0), \\ f(-n) &\!=\! f(0)\!\!-\!\!\{ f(0)\!\!-\!\!f(-1)\}\!\!-\!\!\cdots\!\!-\!\!\{ f(-n\!\!+\!\!1)\!\!-\!\!f(-n)\} \end{align*} は整数である. よって, (ii) $\Rightarrow$ (i) が成り立つ.
 次に, (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) を示す.
(a)
$d = 0$ のとき. $f(x)$ は定数関数だから, (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) が成り立つ.
(b)
与えられた非負整数 $d$ について, 各 $d$ 次多項式に対して (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) の成立を仮定する. この $d$ に対して (i) $\Leftrightarrow$ (iii) が成り立つ. $f(x)$ を $d+1$ 次多項式とすると, $f(x+1)-f(x)$ は $d$ 次だから, \begin{align*} &\text{すべての整数 }n\text{ に対して }f(0),\ f(n+1)-f(n)\text{ は整数} \\ &\iff f(0),\ f(1)\!-\!f(0),\ \cdots,\ f(d\!+\!1)\!-\!f(d)\text{ は整数} \\ &\iff f(0),\ \cdots,\ f(d),\ f(d+1)\text{ は整数} \end{align*} が成り立つ.
(a), (b) から, すべての非負整数 $d$ に対して (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) が成り立つ.
 以上から, (i)~(iii) はすべて同値である.