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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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放物線

放物線

定義≪放物線≫

 平面上で, 定点 $\mathrm F$ と, $\mathrm F$ を通らない定直線 $g$ からの距離が等しい点の軌跡 $C$ を放物線(parabola)と呼び, $\mathrm F$ を $C$ の焦点(focus), $g$ を $C$ の準線(directrix)と呼ぶ. また, $C$ の焦点を通り, $g$ に垂直な直線を $C$ の(axis)と呼ぶ. さらに, $C$ とその軸の交点を $C$ の頂点(vertex)と呼ぶ.

定理≪放物線の標準形≫

 放物線 $C:y^2 = 4px$ ($p \neq 0$)の頂点は原点, 焦点は点 $(p,0),$ 準線は直線 $x = -p$ である. また, $C$ の軸は $x$ 軸であり, $C$ は $x$ 軸に関して対称である.

問題≪パラボラアンテナの原理≫

 $a,$ $k$ を正の定数とする. 放物線 $C:y = ax^2$ の焦点を $\mathrm F$ とおく. また, 点 $\mathrm P(t,k)$ を $C$ の上方にある点として, 点 $\mathrm T(t,at^2)$ における $C$ の接線を $\ell,$ 法線を $n$ とおき, これらの $y$ 切片をそれぞれ $\mathrm I,$ $\mathrm J$ とおく.
(A)
(1)
$\ell$ の方程式を求めよ.
(2)
$\mathrm{FT} = \mathrm{FI}$ であることを示せ.
(3)
$\angle\mathrm{PTJ} = \angle\mathrm{FTJ}$ が成り立つことを示せ.
(B)
折れ線 $\mathrm{PTF}$ の長さ $\mathrm{PT}+\mathrm{TF}$ は点 $\mathrm P$ の取り方によらず一定であることを示せ.

解答例

(A)
(1)
$y = ax^2$ を $x$ で微分すると $y' = 2ax$ となる.
よって, 点 $\mathrm T(t,at^2)$ における $C$ の接線 $\ell$ の方程式は \[ y-at^2 = 2at(x-t)\] つまり \[ y = 2atx-at^2 \quad \cdots [1]\] である.
(2)
$C$ の焦点 $\mathrm F$ の座標は $\left( 0,\dfrac{1}{4a}\right)$ であり, $[1]$ から点 $\mathrm I$ の座標は $(0,-at^2)$ であるので, \begin{align*} \mathrm{FT} &= \sqrt{t^2\!+\!\left( at^2\!-\!\frac{1}{4a}\right) ^2} \!\!=\!\! \sqrt{a^2t^4\!+\!\frac{t^2}{2}\!+\!\frac{1}{16a^2}} \\ &= \sqrt{\left(\frac{1}{4a}+at^2\right) ^2} = \frac{1}{4a}+at^2 \\ &= \mathrm{FO}+\mathrm{OI} = \mathrm{FI} \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$\mathrm{PT}$ と $\ell$ の成す角を $\theta$ とおくと, $[2]$ から $\triangle\mathrm{FTI}$ は二等辺三角形であるので, \[\angle\mathrm{FTI} = \angle\mathrm{FIT} = \theta\] が成り立つ. ゆえに, \[\angle\mathrm{PTJ} = \angle\mathrm{FTJ} = 90^\circ -\theta\] が成り立つ.
(B)
点 $\mathrm P$ から $C$ の準線 $g:y = -\dfrac{1}{4a}$ に下した垂線の足を $\mathrm Q$ とおくと, 放物線の定義により \[\mathrm{PT}+\mathrm{TF} = \mathrm{PT}+\mathrm{TQ} = \mathrm{PQ} = k+\dfrac{1}{4a}\] となる. この値は点 $\mathrm P$ の取り方によらず一定である.

背景

 「パラボラアンテナ」は, 放物線を軸のまわりに回転した「回転放物面」と呼ばれる形状をしており, 本問で示した放物線の性質を利用して電波を受信している.