COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ペル方程式

ペル方程式

定義≪ペル方程式≫

 $d$ を平方数でない正の整数とする. $x^2-dy^2 = 1$ または $x^2-dy^2 = -1$ の形の方程式を ペル方程式(Pell's equation)と呼ぶ. $(\pm 1,0)$ を $x^2-dy^2 = 1$ の自明解(trivial solution)と呼ぶ.

注意

 $d$ が平方数のとき, 整数の範囲で \[ x^2-dy^2 = (x+y\sqrt d)(x-y\sqrt d)\] と因数分解でき, 積が $\pm 1$ であるような整数は $1$ と $-1$ に限るから, $x^2-dy^2 = 1$ の解は $(x,y) = (\pm 1,0)$ に限り, $x^2-dy^2 = -1$ の解が存在するのは $d = 1$ のときに限ることが分かる. これは $d$ が平方数でないときの解の様子とまったく異なるので, $d$ が平方数の場合は除外して考える.

定理≪$x^2-dy^2 = 1$ の解の存在≫

 $d$ を平方数でない正の整数とする. このとき, $x^2-dy^2 = 1$ は無限個の整数解を持つ.

ペル方程式の解の構造

定理≪ペル方程式の解の構造≫

 $d$ を平方数でない正の整数とする.
(a)
$x^2-dy^2 = 1$ の正の整数解について, $x+y\sqrt d$ の最小値を $\varepsilon$ とおく. このとき, 各正の整数 $n$ に対して \[\varepsilon ^n = x_n+y_n\sqrt d\] で定まる $(x,y) = (x_n,y_n)$ が $x^2-dy^2 = 1$ のすべての正の整数解を与える.
(b)
$x^2-dy^2 = -1$ の整数解が存在するとして, その正の整数解について $x+y\sqrt d$ の最小値を $\varepsilon$ とおく. このとき, 各正の整数 $n$ に対して \[\varepsilon ^{2n-1} = x_n+y_n\sqrt d\] で定まる $(x,y) = (x_n,y_n)$ が $x^2-dy^2 = -1$ のすべての正の整数解を与える.

補題≪共役の乗法性≫

 $d$ を平方数でない正の整数とする. $a,$ $b$ が整数のとき, \[\widetilde{a+b\sqrt d} = a-b\sqrt d\] と定める. $a_1,$ $b_1,$ $a_2,$ $b_2$ が整数のとき, $\alpha _k = a_k+b_k\sqrt d\ (k = 1,2)$ について, $\widetilde{\alpha _1\alpha _2} = \widetilde{\alpha _1}\cdot\widetilde{\alpha _2}$ が成り立つ.

補題の証明

 $\alpha _1\alpha _2 = (a_1a_2+b_1b_2d)+(a_1b_2+b_1a_2)\sqrt d$ から, \begin{align*} &\widetilde{\alpha _1}\cdot\widetilde{\alpha _2} = (a_1-b_1\sqrt d)(a_2-b_2\sqrt d) \\ &= (a_1a_2+b_1b_2d)-(a_1b_2+b_1a_2)\sqrt d = \widetilde{\alpha _1\alpha _2} \end{align*} が成り立つ.

定理の証明

(a)
補題と $\varepsilon\tilde\varepsilon = 1$ から, \begin{align*} x_n{}^2-dy_n{}^2 &= (x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d) \\ &= \varepsilon ^n\widetilde{\varepsilon ^n} = \varepsilon ^n\tilde\varepsilon ^n = (\varepsilon\tilde\varepsilon )^n \\ &= 1^n = 1 \end{align*} が成り立つ. さらに, $(x,y)$ を $x^2-dy^2 = 1$ の正の整数解とする. このとき, $\varepsilon > 1$ から, \[\varepsilon ^n \leqq x+y\sqrt d < \varepsilon ^{n+1}\] を満たす正の整数 $n$ が存在する. 両辺を $\varepsilon ^n$ で割ると, \[ 1 \leqq (x+y\sqrt d)\varepsilon ^{-n} < \varepsilon\] となる. \begin{align*} &(x+y\sqrt d)\varepsilon ^{-n} = (x+y\sqrt d)\tilde\varepsilon ^n \\ &= (x+y\sqrt d)\widetilde{\varepsilon ^n} = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d) \\ &= x'+y'\sqrt d \end{align*} を満たす整数 $x',$ $y'$ をとる. 補題により \[ (x-y\sqrt d)\tilde\varepsilon ^{-n} = x'-y'\sqrt d\] が成り立つので, 辺々を掛けあわせると \[ x'^2-dy'^2 = (x^2-dy^2)(\varepsilon\tilde\varepsilon )^{-n} = 1\cdot 1^{-n} = 1\] が得られる. よって, $\varepsilon$ の最小性により, $x'+y'\sqrt d = 1$ が成り立つ. これから $x+y\sqrt d = \varepsilon ^n$ が得られる.
(b)
補題と $\varepsilon\tilde\varepsilon = -1$ から, \begin{align*} x_n{}^2-dy_n{}^2 &= (x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d) \\ &= \varepsilon ^{2n-1}\widetilde{\varepsilon ^{2n-1}} = \varepsilon ^{2n-1}\tilde\varepsilon ^{2n-1} = (\varepsilon\tilde\varepsilon )^{2n-1} \\ &= (-1)^{2n-1} = -1 \end{align*} が成り立つ. さらに, $(x,y)$ を $x^2-dy^2 = -1$ の正の整数解とする. このとき, $\varepsilon > 1$ から, \[\varepsilon ^{2n-1} \leqq x+y\sqrt d < \varepsilon ^{2n+1}\] を満たす正の整数 $n$ が存在する. 両辺を $\varepsilon ^{2n-1}$ で割ると, \[ 1 \leqq (x+y\sqrt d)\varepsilon ^{1-2n} < \varepsilon ^2\] となる. \begin{align*} &(x+y\sqrt d)\varepsilon ^{1-2n} = (x+y\sqrt d)\tilde\varepsilon ^{2n-1} \\ &= (x+y\sqrt d)\widetilde{\varepsilon ^{2n-1}} = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d) \\ &= x'+y'\sqrt d \end{align*} を満たす整数 $x',$ $y'$ をとる. 補題により \[ (x-y\sqrt d)\tilde\varepsilon ^{1-2n} = x'-y'\sqrt d\] が成り立つので, 辺々を掛けあわせると \begin{align*} x'^2-dy'^2 &= (x^2-dy^2)(\varepsilon\tilde\varepsilon )^{1-2n} \\ &= (-1)\cdot (-1)^{1-2n} = 1 \end{align*} が得られる. $x^2-dy^2 = 1$ の正の整解について $x+y\sqrt d$ の最小値は $\varepsilon ^2$ であるから, $x'+y'\sqrt d = 1$ が成り立つ. これから $x+y\sqrt d = \varepsilon ^{2n-1}$ が得られる.

定理≪ペル方程式の平方根の近似計算への応用≫

 $d$ を平方数でない正の整数とする. $x^2-dy^2 = 1$ の正の整数解について, $x+y\sqrt d$ の値が小さい順に $(x_n,y_n)$ とおくと, $x_n/y_n$ は $\sqrt d$ に収束する.

問題

数学 A: 整数の性質

問題≪ペル方程式の一般解≫

(1)
$\alpha = x+y\sqrt 2$ ($x,$ $y$: 整数)の形に表される各実数 $\alpha$ に対して, $\widetilde{\mathstrut\alpha} = x-y\sqrt 2$ と定める. $\alpha = x+y\sqrt 2,$ $\alpha ' = x'+y'\sqrt 2$ ($x,$ $y,$ $x',$ $y'$: 整数)のとき, $\widetilde{\alpha\alpha '} = \widetilde{\mathstrut\alpha}\widetilde{\mathstrut\alpha '}$ が成り立つことを示せ.
(2)
$x^2-2y^2 = 1$ の正の整数解 $(x,y)$ を用いて $x+y\sqrt 2$ の形に表される実数の最小値を $\varepsilon$ とおく. $\varepsilon$ の値を求めよ.
(3)
$n$ を正の整数とするとき, \[\varepsilon ^n = x_n+y_n\sqrt 2 \quad \cdots [\mathrm A]\] により定まる整数 $x_n,$ $y_n$ について, $(x,y) = (x_n,y_n)$ は $x^2-2y^2 = 1$ の解であることを示せ. さらに, $\varepsilon,$ $\widetilde{\mathstrut\varepsilon}$ と $n$ を用いて $x_n,$ $y_n$ を表せ.
(4)
$(x,y)$ を $x^2-2y^2 = 1$ の正の整数解とする. このとき, $(x,y)$ はある正の整数 $n$ に対して上記の解 $(x_n,y_n)$ に一致することを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 II: 等式の証明

問題≪ブラーマグプタの恒等式とペル方程式≫

(1)
$(xu+dyv)^2-d(xv+yu)^2 = (x^2-dy^2)(u^2-dv^2)$ が成り立つことを示せ.
(2)
$u^2-2v^2 = 1$ の正の整数解を $1$ つ求めよ.
(3)
$x^2-2y^2 = -1$ は無限に多くの整数解を持つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 B: 数列

問題≪平方三角数とペル方程式≫

(1)
図のように, $l$ 行 $l$ 列の正方形の形に並べられていた石を崩した後, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ と $m$ 段目まで並べていくと, 石を余すことなく正三角形の形に並べられたとする. このとき, $(x,y) = (2m+1,2l)$ は $x^2-2y^2 = 1$ の解であることを示せ.
(2)
$(x,y)$ を $x^2-2y^2 = 1$ の正の整数解とする. このとき, $x$ は $3$ 以上の奇数であり, $y$ は偶数であることを示せ. さらに, $l = \dfrac{y}{2},$ $m = \dfrac{x-1}{2}$ とおくと, 上記のように, $l$ 行 $l$ 列の正方形の形に並べられた石は, $m$ 段の正三角形の形にも並べられることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題≪ペル方程式に関する連立漸化式≫

 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ を \[ x_1 = 3,\ y_1 = 2,\ x_{n+1} = 3x_n+4y_n,\ y_{n+1} = 2x_n+3y_n\] で定める.
(a)
数列 $\{ x_n+ky_n\}$ が公比 $r$ の等比数列となるような定数 $k,$ $r$ の組を $2$ 組求めよ. さらに, 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ の一般項を求めよ.
(b)
$x_n,$ $x_{n+1},$ $x_{n+2}$ の関係式を求めよ. また, 数列 $\{ x_{n+1}-\alpha x_n\}$ が公比 $\beta$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta$ の組を $2$ 組求めよ. さらに, 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

 こちらを参照.