COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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順列・円順列

順列・円順列

問題≪正多面体の面の塗り分け≫

 $n$ 色を使って, 正 $n$ 面体の各面に互いに異なる色を塗る.
(1)
次の各場合に, 色の塗り方は何通りあるか. 正 $n$ 面体の面の数 $n$ と, $1$ つの頂点で交わる辺の本数 $m,$ 頂点の個数 $v$ を用いて表せ.
(i)
すべての頂点を固定する場合.
(ii)
$1$ つの頂点を固定する場合.
(iii)
どの頂点も固定しない場合.
(2)
$n = 4,$ $6,$ $8,$ $12,$ $20$ の各場合に, 色の塗り方の総数を求めよ.

解答例

(1)
(i)
すべての頂点を固定するとき, 色の塗り方は $n$ 個から $n$ 個をとる順列の総数に等しく, $n!$ 通り.
(ii)
$1$ つの頂点 $\mathrm A$ を固定するとき, $\mathrm A$ と正 $n$ 面体の中心を通る直線のまわりの回転移動で (1) の $m$ 通りの色の塗り方がそれぞれ同一視されるから, $\dfrac{n!}{m}$ 通り.
(iii)
どの頂点も固定しないとき, 任意の頂点を頂点 $\mathrm A$ の位置に移す移動で (2) の $v$ 通りの色の塗り方がそれぞれ同一視されるから, $\dfrac{n!}{m}\div v = \dfrac{n!}{mv}$ 通り.
(2)
正 $n$ 面体の $1$ つの頂点で交わる辺の本数 $m,$ 頂点の個数 $v$ は次のようになる.
$n$$m$$v$
$4$$3$$4$
$6$$3$$8$
$8$$4$$6$
$12$$3$$20$
$20$$5$$12$
よって, (1) の (iii) の結果から, 求める場合の数はそれぞれ \begin{align*} \frac{4!}{3\cdot 4} &= 2, \\ \frac{6!}{3\cdot 8} &= 30, \\ \frac{8!}{4\cdot 6} &= 1\,680, \\ \frac{12!}{3\cdot 20} &= 7\,983\,360, \\ \frac{20!}{5\cdot 12} &= 40\,548\,366\,802\,944\,000 \end{align*} である.

背景

 隣り合う領域には互いに異なる色を塗るという条件のもとで, 平面, 球面上の地図は, $4$ 色で塗り分けられることが知られている(「四色定理」). 球面への投影を考えればすぐわかるように, 穴の開いていないすべての多面体は $4$ 色で塗り分けられる. 塗り分けに必要な色の数の最小値は, 正四面体では $4,$ 正六面体では $3,$ 正八面体では $2,$ 正十二面体では $4,$ 正二十面体では $3$ である.