COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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微分法の方程式・不等式への応用

不等式への応用

 不等式 $f(x) \leqq g(x)$ を示すには, 関数 $h(x) = g(x)-f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを示せばよい. $h(x) \geqq 0$ を示すには, $h(x)$ の増減を調べる方法が有用である.

問題≪指数関数の近似と相加・相乗平均の不等式≫

(1)
すべての実数 $x$ に対して, 不等式 $x \leqq e^{x-1}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(2)
正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ が $x_1+\cdots +x_n = n$ を満たすとき, $x_1\cdots x_n \leqq 1$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(3)
正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して $a = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ とおくとき, \[ x_1\cdots x_n \leqq a^n\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
[2008 横浜市立大*]

解答例

(1)
$f(x) = e^{x-1}-x$ とおく. このとき, $f'(x) = e^{x-1}-1$ から, \[ f'(x) \leqq 0 \iff x \leqq 1, \quad f'(x) \geqq 0 \iff x \geqq 1\] である. よって, $f(x)$ は $x = 1$ で極小かつ最小となるので, $f(x) \geqq f(1) = 0$ から $e^{x-1}-x \geqq 0$ つまり $x \leqq e^{x-1}$ が成り立ち, 等号成立は $x = 1$ の場合に限る.
(2)
(1) から, \[ x_1\cdots x_n \leqq e^{x_1-1}\cdots e^{x_n-1} = e^{x_1+\cdots +x_n-n} = e^0 = 1\] が成り立ち, 等号成立は $x_1 = \cdots = x_n = 1$ の場合に限る.
(3)
$a = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ から $\dfrac{x_1}{a}+\cdots +\dfrac{x_n}{a} = n$ であるので, (2) から
$\dfrac{x_1}{a}\cdots\dfrac{x_n}{a} \leqq 1$ つまり $x_1\cdots x_n \leqq a^n$
が成り立ち, 等号成立は $\dfrac{x_1}{a} = \cdots = \dfrac{x_n}{a} = 1,$ つまり $x_1 = \cdots = x_n$ の場合に限る.