COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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Pick の公式

理論

Pick の公式

定義≪格子多角形≫

 座標平面上の各座標が整数である点を格子点(lattice point)と呼び, すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形(lattice polygon)と呼ぶ.
 この記事では, 次の定理の証明を目標とする. 証明は中学校の範囲で可能である.

定理≪Pick の公式≫(Pick, 1899)

 すべての格子多角形 $P$ の面積 $S$ は, $P$ の内部にある格子点の個数 $i$ と $P$ の辺上にある格子点の個数 $b$ を用いて \[ S = i+\frac{b}{2}-1\] と表される. 

証明

 各格子多角形 $P$ に対し, $P$ の面積を $S(P),$ $P$ の内部にある格子点の個数を $i(P),$ $P$ の辺上にある格子点の個数を $b(P)$ で表すことにして, $w(P) = i(P)+\dfrac{b(P)}{2}-1$ とおく.
 まず, 格子多角形 $P$ が $2$ つの格子多角形 $P_1,$ $P_2$ に分割されるとき, \[ w(P) = w(P_1)+w(P_2) \quad \cdots [1]\] が成り立つことを示す. $P_1$ と $P_2$ の共通部分にあって $P$ の辺上にある格子点は $2$ 個ある. $P_1$ と $P_2$ の共通部分にあって $P$ の内部にある格子点の個数を $m$ とおくと, \begin{align*} i(P) &= i(P_1)+i(P_2)+m, \\ b(P) &= b(P_1)+b(P_2)-2m-2 \end{align*} となるから, \begin{align*} &w(P) = i(P)+\frac{b(P)}{2}-1 \\ &= i(P_1)+i(P_2)+m+\frac{b(P_1)+b(P_2)}{2}-m-1-1 \\ &= i(P_1)+\frac{b(P_1)}{2}-1+i(P_2)+\frac{b(P_2)}{2}-1 \\ &= w(P_1)+w(P_2) \end{align*} となる. $[1]$ が示された.
 格子多角形 $P$ が格子多角形 $P_1,$ $\cdots,$ $P_r$ に分割されるとき, $[1]$ と帰納法から, \[ w(P) = w(P_1)+\cdots +w(P_r) \quad \cdots [1]'\] が成り立つ.
 $1$ 辺の長さが $1$ の格子正方形 $R$ に対しては \[ S(R) = 1 = 0+\frac{4}{2}-1 = w(R)\] が成り立つので, $[1]'$ から座標軸に平行な辺を持つすべての格子長方形 $R$ に対して \[ S(R) = w(R) \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
 さらに, 座標軸に平行な $2$ 辺を持つ与えられた格子直角三角形 $T$ についても, $2$ つの $T$ を貼り合わせることで得られる格子長方形を $R$ とおくと, $[1],$ $[2]$ から \[ 2S(T) = S(R) = w(R) = 2w(T)\] となるので, \[ S(T) = w(T) \quad \cdots [3]\] が成り立つ.
 よって, $[1]',$ $[2],$ $[3]$ から, すべての格子三角形 $T'$ に対して \[ S(T') = w(T') \quad \cdots [4]\] が成り立つ. これは, すべての格子三角形 $T'$ が座標軸に平行な辺を持つ格子長方形 $R$ から座標軸に平行な $2$ 辺を持ついくつかの格子三角形 $T_1,$ $\cdots,$ $T_r$ を取り除くことによって得られるので, \begin{align*} S(T') &= S(R)-S(T_1)-\cdots -S(T_r) \\ &= w(R)-w(T_1)-\cdots -w(T_r) = w(T') \end{align*} となるからである.
 ゆえに, 格子三角形への分割を考えると, $[1]',$ $[4]$ から, すべての格子多角形 $P$ に対して $S(P) = w(P)$ が成り立つ.

問題

数学 I: 図形と計量

問題≪格子三角形の面積≫

 $3$ 辺の長さが $\sqrt 5,$ $\sqrt{10},$ $\sqrt{17}$ である三角形の面積 $S$ を求めよ.

解答例(マーク式試験用)

 次のように格子点を結ぶと, 題意の三角形が描ける.
この三角形の辺上と内部にはそれぞれ $3$ 個の格子点があるから, Pick の公式により, 求める面積は \[ S = \frac{3}{2}+3-1 = \frac{7}{2}\] である.

解説

 余弦定理により $1$ つの角の余弦の値を求め, 正弦の値を求めて, 三角形の面積の公式を使う解法が標準的であるが, 計算は少し煩雑である. Pick の定理を知っていれば, マーク式の場合に素早く回答でき, 記述式の場合にも素早く検算できる.

数学 A: 整数

問題≪三角形の格子点の個数≫

 $x+2y < 2018$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ の個数 $i$ を求めよ.
[類 2008 名古屋大]

解答例(マーク式試験用)

 直線 $l:x+2y = 2018$ と座標軸で囲まれた直角三角形を $T$ とし, $T$ の面積を $S,$ $T$ の辺上にある格子点の個数を $b$ とおく. Pick の公式により \[ S = i+\frac{b}{2}-1\] が成り立つ. 直線 $l$ の $x$ 切片は $\mathrm A(2018,0),$ $y$ 切片は $\mathrm B(0,1009)$ であるから, $T$ の面積は \[ S = \frac{1}{2}\cdot 2018\cdot\frac{2018}{2} = 1018081\] である. また, $T$ の斜辺 $\mathrm{AB}$ 上にある格子点の座標は整数 $a$ を用いて $\left( a,\dfrac{2018-a}{2}\right)$ と表されるから, その個数は $0$ 以上 $2018$ 以下の偶数の個数 $1010$ に等しい. よって, $T$ の辺上にある格子点の個数は \[ b = 2019+1010+1010-3 = 4036\] である. ゆえに, 求める個数は \[ i = S-\frac{b}{2}+1 = 1018081-\frac{4036}{2}+1 = 1016064\] である.

別解

 直線 $l:x+2y = 2018$ の $x$ 切片は $\mathrm A(2018,0),$ $y$ 切片は $\mathrm B(0,1009)$ である. 線分 $\mathrm{AB}$ 上にある格子点の座標は整数 $a$ を用いて $\left( a,\dfrac{2018-a}{2}\right)$ と表されるから, その個数は $0$ 以上 $2018$ 以下の偶数の個数 $1010$ に等しい. $\mathrm O'(2018,1009)$ とおく. 求める個数は, 長方形 $\mathrm{OAO}'\mathrm B$ の格子点から対角線 $\mathrm{AB}$ の格子点を除いた個数を $2$ で割り, 辺上にある残りの格子点の個数を引いたものに等しく, \[ i = \frac{2019\cdot 1010-1010}{2}-(2018+1009-1) = 1016064\] である.