COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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複素数の極形式

ド・モアブルの定理

定理≪ド・モアブルの定理≫

 すべての整数 $n$ と角 $\theta$ に対して, \[ (\cos\theta +i\sin\theta )^n = \cos n\theta +i\sin n\theta \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つ.

証明

 まず, $n \geqq 0$ の場合を考える.
(i)
$n = 0$ のとき. $(\cos\theta +i\sin\theta )^0 = 1 = \cos 0+i\sin 0$ から, $[\ast ]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k$ ($k$: 非負整数)のとき $[\ast ]$ が成り立つとすると, 三角関数の加法定理により \begin{align*} &(\cos\theta +i\sin\theta )^{k+1} \\ &= (\cos\theta +i\sin\theta )^k(\cos\theta +i\sin\theta ) \\ &= (\cos k\theta +i\sin k\theta )(\cos\theta +i\sin\theta ) \\ &= \cos k\theta\cos\theta -\sin k\theta\sin\theta \\ &\qquad +i(\sin k\theta\cos\theta +\cos k\theta\sin\theta ) \\ &= \cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta ) \\ &= \cos (k+1)\theta +i\sin (k+1)\theta \end{align*} となるから, $n = k+1$ のとき $[\ast ]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての非負整数 $n$ に対して $[\ast ]$ が成り立つ.
 さらに, $n < 0$ のとき, $-n > 0$ であるから, 上記の結果により \begin{align*} (\cos\theta +i\sin\theta )^n &= \{ (\cos\theta +i\sin\theta )^{-n}\} ^{-1} \\ &= \{\cos (-n\theta )+i\sin (-n\theta )\} ^{-1} \\ &= \cos n\theta +i\sin n\theta \end{align*} が成り立つ.

問題≪複素数の乗法で閉じた有限集合≫

 $0$ でない複素数から成る集合 $G$ は, 次の条件を満たすとする.
(G0)
$G$ のすべての要素 $z,$ $w$ の積 $zw$ もまた $G$ の要素である.
$n$ を正の整数とする. このとき,
(1)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ の例を挙げよ.
(2)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ は (1) の例以外にないことを示せ.
[2001 京都府立医大*]

解答例

(1)
$z^n = 1$ の解 \[\omega = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\] を用いて \[ G = \{ 1,\omega,\cdots,\omega ^{n-1}\}\] と定めると, $G$ は (G0) を満たす.
(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G = \{ z_1,\cdots,z_n\}$ が (G0) を満たすとする. $G$ の要素 $w$ をとる. このとき, 整数 $k,$ $l\ (1 \leqq k < l \leqq n)$ に対して $z_kw \neq z_lw$ であり, (G0) から $z_kw,$ $z_lw \in G$ であるので, \[ G = \{ z_1w,\cdots,z_nw\}\] となる. $G$ の要素をすべて掛け合わせると \[ z_1\cdots z_n = (z_1w)\cdots (z_nw) = (z_1\cdots z_n)w^n\] となるから, $w^n = 1$ となる. ゆえに, $G$ は $1$ の $n$ 乗根から成るので, (1) の集合に一致する. これで, 題意が示された.

別解

(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G$ が (G0) を満たすとする.
このとき, $G$ の各要素 $z$ に対して, $z^m = 1$ を満たす正の整数 $m$ が存在する. 実際, (G0) から $z^k$ ($k$: 正の整数)の形の複素数はすべて $G$ に含まれるが, $G$ は有限個の複素数から成るので, ある正の整数の組 $(k,l)$ ($k < l$)に対して $z^k = z^l$ となり, 正の整数 $m = l-k$ は $z^m = 1$ を満たす.
さらに, $|z|^m = |z^m| = 1$ から $|z| = 1$ であり, また $1 \in G$ であることもわかる.
$n = 1$ のとき, $G = \{ 1\}$ から題意が従う.
そこで, 以下では $n > 1$ の場合を考える. $1$ と異なる $G$ の要素のうち, 偏角が $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で最小である複素数を $z$ とおき, $m$ を $z^k = 1$ なる正の整数 $k$ の最小値とする. $G$ の要素 $w$ を任意にとり, $l$ を $w^l = 1$ なる正の整数とする. また, $w$ の偏角を $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で考える.
(i)
$\mathrm{arg}\,z^{m-1} \leqq \mathrm{arg}\,w < 2\pi$ のとき, \[ 0 < \mathrm{arg}\,w^{-1} = \mathrm{arg}\,w^{l-1} \leqq \mathrm{arg}\,z^{1-m} = \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $w^{-1} = z$ つまり $w = z^{-1} = z^{m-1}$ となる.
(ii)
(i) 以外のとき, $0 \leqq k \leqq m-1$ なるある正の整数 $k$ に対して $\mathrm{arg}\,z^k \leqq \mathrm{arg}\,w < \mathrm{arg}\,z^{k+1}$ となり, \[ 0 \leqq \mathrm{arg}\,wz^{-k} = \mathrm{arg}\,wz^{m-k} < \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $wz^{-k} = 1$ つまり $w = z^k$ となる.
よって, $G = \{ 1,z,\cdots,z^{m-1}\}$ から, $m = n$ である.
ゆえに, $z$ は (1) の $\omega$ に一致して, $G = \{ 1,\omega,\cdots,\omega ^{n-1}\}$ となる.

背景

 次の条件を満たす演算 $*$ の定義された集合 $G\,(\neq \varnothing )$ を「群」(group)と呼ぶ.
(G0)
$G$ のすべての要素 $a,$ $b$ に対して, $a*b \in G$ である.
(G1)
$(a*b)*c = a*(b*c)\ (a,b,c \in G)$ が成り立つ.
(G2)
$a*e = e*a = a\ (a \in G)$ なる $G$ の要素 $e$ が存在する.
(G3)
$G$ の各要素 $a$ に対して, $a*a^{-1} = a^{ -1}*a = e$ なる $G$ の要素 $a^{-1}$ が存在する.
 例えば, $1$ の $3$ 乗根全体 $G = \{ 1,\omega,\omega ^2\}$ は, 通常の乗法に関して群を成すことが確認できる($e = 1,$ $1^{-1} = 1,$ $\omega ^{-1} = \omega ^2,$ $(\omega ^2)^{-1} = \omega$). 本問では, 条件 (G0) に着目して, 複素数の範囲で通常の乗法に関して「群」を成す有限集合を決定した.

定理≪複素数の累乗根≫

 $r$ を正の数, $\theta$ を実数, $n$ を正の整数とする. 複素数 $\alpha = r(\cos\theta +i\sin\theta )$ の $n$ 乗根, つまり $z^n = \alpha$ の解は \begin{align*} z = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta +2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta +2k\pi}{n}\right)\quad \\ (k \in \{ 0,\cdots,n-1\}) \end{align*} と表される.

問題≪正多角形の辺と対角線の長さの積≫

 単位円に内接する正 $n$ 角形の $1$ つの頂点から引けるすべての辺と対角線の長さの積は $n$ であることを示せ.

解答例

 複素数平面において, 単位円に内接し, 点 $\mathrm P_0(1)$ を通る正 $n$ 角形 $\mathrm P_0\mathrm P_1\cdots \mathrm P_{n-1}$ の頂点 $\mathrm P_k$ は $z^n = 1$ の解 \[ z_k = \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k \in \{ 0,\ 1,\ \cdots,\ n-1\})\] に対応する. $z = z_k$ $(k \neq 0)$は $z^{n-1}+\cdots +z+1 = 0$ を満たすので, 因数定理により \[ (z-z_1)\cdots (z-z_{n-1}) = z^{n-1}+\cdots +z+1\] が成り立つ. $z = 1$ を代入すると \[ (1-z_1)\cdots (1-z_{n-1}) = n\] となるから, \begin{align*} \mathrm P_0\mathrm P_1\cdot\cdots\cdot\mathrm P_0\mathrm P_{n-1} &= |1-z_1|\cdots |1-z_{n-1}| \\ &= |(1-z_1)\cdots (1-z_{n-1})| \\ &= |n| = n \end{align*} が成り立つ.