COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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複素数の極形式

ド・モアブルの定理

定理≪ド・モアブルの定理≫

 すべての整数 $n$ と角 $\theta$ に対して, \[ (\cos\theta +i\sin\theta )^n = \cos n\theta +i\sin n\theta \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つ.

証明

 まず, $n \geqq 0$ の場合を考える.
(i)
$n = 0$ のとき. $(\cos\theta +i\sin\theta )^0 = 1 = \cos 0+i\sin 0$ から, $[\ast ]$ が成り立つ.
(ii)
$n = k$ ($k$: 非負整数)のとき $[\ast ]$ が成り立つとすると, 三角関数の加法定理により \begin{align*} &(\cos\theta +i\sin\theta )^{k+1} \\ &= (\cos\theta +i\sin\theta )^k(\cos\theta +i\sin\theta ) \\ &= (\cos k\theta +i\sin k\theta )(\cos\theta +i\sin\theta ) \\ &= \cos k\theta\cos\theta -\sin k\theta\sin\theta \\ &\qquad +i(\sin k\theta\cos\theta +\cos k\theta\sin\theta ) \\ &= \cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta ) \\ &= \cos (k+1)\theta +i\sin (k+1)\theta \end{align*} となるから, $n = k+1$ のとき $[\ast ]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての非負整数 $n$ に対して $[\ast ]$ が成り立つ.
 さらに, $n < 0$ のとき, $-n > 0$ であるから, 上記の結果により \begin{align*} (\cos\theta +i\sin\theta )^n &= \{ (\cos\theta +i\sin\theta )^{-n}\} ^{-1} \\ &= \{\cos (-n\theta )+i\sin (-n\theta )\} ^{-1} \\ &= \cos n\theta +i\sin n\theta \end{align*} が成り立つ.

問題≪複素数の乗法に関して閉じた有限集合≫

 $0$ でない複素数から成る集合 $G$ は, 次の条件を満たすとする.
(G0)
$G$ のすべての要素 $z,$ $w$ の積 $zw$ もまた $G$ の要素である.
$n$ を正の整数とする. このとき,
(1)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ の例を挙げよ.
(2)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ は (1) の例以外にないことを示せ.
[2001 京都府立医大*]

解答例

 こちらを参照.