COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次曲線の内外に接する多角形

チャップル=オイラーの定理

定理≪チャップル=オイラーの定理≫

 三角形の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおくと, \[\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 I: 図形と計量

問題≪チャップル=オイラーの定理≫

 次のことを示せ.
(A)
点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $R$ の円の弦 $\mathrm{XY}$ 上のすべての点 $\mathrm P$ に対して \[\mathrm{OP}^2 = R^2-\mathrm{XP}\cdot\mathrm{YP}\] が成り立つ.
(B)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおく. さらに, 直線 $\mathrm{AI}$ と円 $\mathrm O$ の交点のうち $\mathrm A$ と異なる方の点を $\mathrm D$ とおき, 辺 $\mathrm{AB}$ と円 $\mathrm I$ の接点を $\mathrm E$ とおくと,
(1)
$\mathrm{DB} = \mathrm{DI},$ 
(2)
$\mathrm{AI}\cdot\mathrm{DB} = 2Rr,$ 
(3)
$\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr$ 
が成り立つ.
[2012 宮崎大*]

解答例

 こちらを参照.