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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次曲線の内外に接する多角形

チャップル=オイラーの定理

定理≪チャップル=オイラーの定理≫

 三角形の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおくと, \[\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

ポンスレの閉形定理

定理≪ポンスレの閉形定理≫

 $2$ 次曲線 $C,$ $D$ に対して, $C$ に外接し, $D$ に内接する $n$ 角形が $1$ つでも存在するならば, $D$ 上の任意の点 $\mathrm P_1$ を $1$ つの頂点とし, $C$ に外接し, $D$ に内接する $n$ 角形が存在する. つまり, 点 $\mathrm P_k$ から $C$ に引いた接線と $D$ の交点($\neq \mathrm P_k$)を $\mathrm P_{k+1}$ とおくことで点 $\mathrm P_2$ $\cdots,$ $\mathrm P_n,$ $\mathrm P_{n+1}$ を順次定めると, $\mathrm P_{n+1} = \mathrm P_1$ となり, $C$ に外接し, $D$ に内接する $n$ 角形 $\mathrm P_1\mathrm P_2\cdots \mathrm P_n$ が得られる.

問題

数学 I: 図形と計量

問題≪チャップル=オイラーの定理≫

 次のことを示せ.
(A)
点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $R$ の円の弦 $\mathrm{XY}$ 上のすべての点 $\mathrm P$ に対して \[\mathrm{OP}^2 = R^2-\mathrm{XP}\cdot\mathrm{YP}\] が成り立つ.
(B)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおく. さらに, 直線 $\mathrm{AI}$ と円 $\mathrm O$ の交点のうち $\mathrm A$ と異なる方の点を $\mathrm D$ とおき, 辺 $\mathrm{AB}$ と円 $\mathrm I$ の接点を $\mathrm E$ とおくと,
(1)
$\mathrm{DB} = \mathrm{DI},$ 
(2)
$\mathrm{AI}\cdot\mathrm{DB} = 2Rr,$ 
(3)
$\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr$ 
が成り立つ.
[2012 宮崎大*]

解答例

 こちらを参照.

数学 II: 図形と方程式

問題≪ポンスレの閉形定理にまつわる問題≫

 原点を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ と放物線 $D:y = x^2-2$ について, 次の問いに答えよ.
(A)
$D$ の頂点 $\mathrm R(0,-2)$ から $C$ に引いた接線と $D$ の交点で $\mathrm R$ と異なるものを $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ とおく. このとき, 直線 $\mathrm{PQ}$ も $C$ に接することを示せ.
(B)
$D$ 上の相異なる $3$ 点 $\mathrm P(p,p^2-2),$ $\mathrm Q(q,q^2-2),$ $\mathrm R(r,r^2-2)$ に対して, 直線 $\mathrm{PR},$ $\mathrm{QR}$ が原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ に接するならば, 直線 $\mathrm{PQ}$ も円 $C$ に接することを示せ.
[1988 名古屋大*]

解答例

 こちらを参照.