COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

曲線の媒介変数表示

曲線の媒介変数表示

問題≪サイクロイドの媒介変数表示≫

 $xy$ 平面において, 半径 $1$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき, 原点で $x$ 軸に接する円周上の定点 $\mathrm P$ が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad \cdots [\ast ]\] で表されることを示せ.

解答例

 円の中心を $\mathrm C,$ 円と $x$ 軸の接点を $\mathrm T$ とおき, 円周上で $\mathrm{CT}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ が表す角を $\theta$ とおく. また, 点 $\mathrm P$ の座標を $(x,y)$ とおく.
  • $0 < \theta < 2\pi$ のとき. $\mathrm{OT}$ は弧 $\mathrm{TP}$ の長さ $\theta$ に等しいから, 点 $\mathrm P$ から $x$ 軸に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, \begin{align*} x &= \begin{cases} \mathrm{OT}-\mathrm{TH} = \theta -\sin\theta & (0 < \theta < \pi ), \\ \mathrm{OT}+\mathrm{TH} = \theta +\sin (2\pi -\theta ) & (\pi \leqq \theta < 2\pi ) \\ \end{cases} \\ &= \theta -\sin\theta \end{align*} となる. また, \begin{align*} y &= \begin{cases} 1-\cos\theta & \left( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\right), \\ 1+\cos (\pi -\theta ) & \left(\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta < \pi\right), \\ 1+\cos (\theta -\pi ) & \left(\pi \leqq \theta < \dfrac{3\pi}{2}\right), \\ 1-\cos (2\pi -\theta ) & \left(\dfrac{3\pi}{2} \leqq \theta < 2\pi\right) \end{cases} \\ &= 1-\cos\theta \end{align*} である.
  • これは, $\theta = 0$ のときも成り立つ.
  • さらに, 周期性に着目すると, その他の場合にも成り立つ.

背景

 平面上において, 円が定直線に接しながらすべることなく転がるとき, 円周上の点が描く軌跡をサイクロイド(cycloid)と呼ぶ.