COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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反復試行の確率

反復試行の確率

定義≪反復試行≫

 同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき, それらの試行を反復試行(repeated attempts)と呼ぶ.

定理≪反復試行の確率≫

 $1$ 回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとする. この試行を $n$ 回繰り返し行うとき, 事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は \[ {}_n\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}\] である.

問題≪コイン投げの確率の最大値≫

 $r$ を正の整数とする. $n \geqq r$ なる整数 $n$ について, $1$ 枚のコインを $n$ 回投げてちょうど $r$ 回表が出る確率 $p_n$ が最大となるような $n$ の値を, $r$ を用いて表せ. ただし, コインを投げて表, 裏が出る確率はともに $\dfrac{1}{2}$ であるとする.

解答例

\begin{align*} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}_{n+1}\mathrm C_r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n+1-r}}{{}_n\mathrm C_r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n-r}} \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\div\frac{n!}{r!(n-r)!} \\ &= \frac{n+1}{2(n+1-r)} \end{align*} であるから, \begin{align*} p_{n+1} > p_n &\iff \frac{p_{n+1}}{p_n} > 1 \\ &\iff \frac{n+1}{2(n+1-r)} > 1 \\ &\iff n+1 > 2(n+1-r) \\ &\iff n < 2r-1, \\ p_{n+1} = p_n &\iff n = 2r-1, \\ p_{n+1} < p_n &\iff n > 2r-1 \end{align*} が成り立つ. よって, \[ p_1 < \cdots < p_{2r-1} = p_{2r} > p_{2r+1} > \cdots\] であるから, $p_n$ は $n = 2r-1,$ $2r$ のとき最大となる.