COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ピタゴラス数

ピタゴラス数

定義≪ピタゴラス数≫

 方程式 \[ a^2+b^2 = c^2\] の正の整数解 $(a,b,c)$ をピタゴラス数(Pythagorean triple)と呼ぶ.

定理≪ピタゴラス数を表す公式≫

 ピタゴラス数 $(a,b,c)$ に対して, 次が成り立つ.
(1)
$a,$ $b$ の偶奇は異なる.
(2)
$a$ が奇数のとき, $a,$ $b,$ $c$ は互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m,$ $n\ (m > n)$ を用いて \[ a = m^2-n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2+n^2\] と表される.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 II: 図形と方程式

問題≪ピタゴラス数を表す公式≫

 点 $\mathrm A(-1,0)$ を通る傾き $t$ の直線と単位円の交点 $\mathrm P(x,y)$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$t$ を用いて $x,$ $y,$ $\dfrac{1-x}{1+x}$ を表せ.
(2)
$x,$ $y$ が有理数のとき, $t$ は有理数であることを示せ.
(3)
$t$ が正の有理数のとき, $x,$ $y$ は互いに素なある正の整数 $m,$ $n$ を用いて \[ x = \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}, \quad y = \frac{2mn}{m^2+n^2} \quad \cdots [\text A]\] と表されることを示せ.
 また, 互いに素な整数 $a,$ $b,$ $c$ が $a^2+b^2 = c^2$ を満たすとき, 次のことを示せ.
(4)
$a,$ $b$ の偶奇は異なる.
(5)
$a$ が奇数のとき, $a,$ $b,$ $c$ は互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m,$ $n\ (m > n)$ を用いて \[ a = m^2-n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2+n^2 \quad \cdots [\text B]\] と表される.

解答例

 こちらを参照.

数学 B: 数列

問題≪$3$ 辺の長さが等差数列をなす直角三角形≫

 $3$ 辺の長さが等差数列をなすような直角三角形の $3$ 辺の長さの比を求めよ.

解答例

 こちらを参照.