COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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 ホームページ内の問題を, リンク集としてまとめたものです. 問題は定期的に更新しています.

数学 B 問題集

凡例

  • F = 頻出度(Frequency): 3 段階 ◎ > ○ > △
  • L = 難易度(Level): 5 段階 A < B < C < D < E
  • T = 記述式における解答時間の目安(Time): ' は単位の分を表す.
    レベルに応じてプラス $5$ 分~ $10$ 分.
    小問の番号が (1), (2), ... の場合: 大問の解答時間
    小問の番号が (a), (b), ... の場合: 小問の解答時間の最大値

問題

数列

 計 $41$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
指数関数の線形和の倍数性 C20’
  • 数列,
  • 整数
  • 数学的帰納法,
  • 倍数・約数
整数値をとる多項式 D30’
  • 数列,
  • 整数
  • 数学的帰納法,
  • その他
有限小数の桁数 D20’
  • 数列,
  • 数と式
  • 数学的帰納法,
  • 小数
$x^2-dy^2 = c^n$ の整数解 D20’
  • 数と式,
  • 整数,
  • 数列
  • 因数分解,
  • 方程式の整数解,
  • 数学的帰納法
平方根の逆数の和の評価 D20’
  • 数列,
  • 式と証明
  • 出発点を一般化した数学的帰納法,
  • 不等式の証明
数列の大小の比較 C20’
  • 数列,
  • 式と証明
  • 出発点を一般化した数学的帰納法,
  • 不等式の証明
$2$ 次方程式の解の対称式の整数性 D25’
  • 数列,
  • 複素数と方程式,
  • 整数
  • 強い仮定の数学的帰納法,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係,
  • 倍数・約数
除法の定理の証明 D40’
  • 整数,
  • 数列
  • 除法の定理,
  • 強い仮定の数学的帰納法
数列の異なる $2$ 項の積の和 D20’
  • 数列
  • 数列の和
連続 $3$ 整数の逆数の和 C15’
  • 数列
  • 数列の和
数列の和の関係式 D25’
  • 数列
  • 強い仮定の数学的帰納法,
  • 数列の和
等差数列を成す直角三角形の辺長の比 C15’
  • 数列
  • 等差数列を成す $3$ 数
数列の関係式と等差数列 C20’
  • 数列
  • 等差数列の特徴付け
等差数列の決定・和の最大値 B20’
  • 数列
  • 等差数列の和
$2$ 数を法とする剰余で定まる等差数列の和 C15’
  • 数列
  • 等差数列の和
既約分数の総和 D25’
  • 数列
  • 等差数列の和
等差数列の絶対値の和 E25’
  • 数列,
  • $2$ 次関数
  • 等差数列の和,
  • $2$ 次関数の最大・最小
空間図形の格子点の個数 D30’
  • 図形と方程式,
  • 数列
  • 不等式で表された図形,
  • 等差数列の和
調和数列の $2$ 項間漸化式 D20’
  • 数列
  • 調和数列
等差数列にも等比数列にもなる $3$ 数 D25’
  • 数列
  • 等比数列
公倍数の総和 C15’
  • 数列
  • 倍数・約数,
  • 等比数列の和
公約数の総和 C10’
  • 整数,
  • 数列
  • 約数の総和,
  • 等比数列の和
等差数列と等比数列の共通項 D25’
  • 数列
  • 等差数列,
  • 等比数列
確率の等比数列の和 D20’
  • 確率,
  • 数列
  • 排反な和事象の確率,
  • 等比数列の和
格子点の個数・対数関数 C20’
  • 指数と対数,
  • 数列
  • 対数関数,
  • 等比数列の和
ハノイの塔 C15’
  • 数列
  • $a_{n+1} = pa_n+q$ 型の漸化式
円で分割される領域の個数 C20’
  • 数列
  • $a_{n+1}$ $= pa_n+qn+r$ 型の漸化式
$a_{n+1}$ $= pa_n+qr^n$ 型の漸化式 C15’
  • 数列
  • $a_{n+1} = pa_n+qr^n$ 型の漸化式
$a_{n+1} = \dfrac{pa_n}{ra_n+s}$ 型の漸化式 D20’
  • 数列
  • $a_{n+1} = \dfrac{pa_n}{ra_n+s}$ 型の漸化式
並び替えに関するフィボナッチ数列 D25’
  • 数列
  • $3$ 項間漸化式
漸化式で定まる数列の余りの周期性 C20’
  • 数列,
  • 整数
  • $3$ 項間漸化式,
  • 和の余り
順列に関する場合の数の連立漸化式 D25’
  • 数列
  • 連立漸化式
入れ替えに関する確率の連立漸化式 D25’
  • 数列
  • 連立漸化式
ガウス整数の累乗の実部・虚部 D20’
  • 複素数と方程式,
  • 数列
  • 複素数の相等,
  • 連立漸化式
ペル方程式と累乗の展開 E40’
  • 数列
  • 連立漸化式,
  • 数学的帰納法,
  • 無限降下法
ペル方程式とブラーマグプタの恒等式 D30’
  • 数と式,
  • 数列
  • 因数分解,
  • 連立漸化式
階比数列 D20’
  • 数列,
  • 指数と対数
  • 特殊な漸化式,
  • $a_{n+1} = pa_n+q$ 型の漸化式,
  • 対数
数列の和の $3$ 項間漸化式 D20’
  • 数列
  • 特殊な漸化式,
  • $3$ 項間漸化式
有理式係数の $2$ 項間漸化式 D10’
  • 数列
  • 特殊な漸化式
格子点と自然数の対応 D25’
  • 数列
  • 群数列
席替えで同じ席にならない確率 E25’
  • 場合の数,
  • 確率,
  • 数列
  • 場合の数・確率の漸化式,
  • 階差数列

ベクトル

 計 $36$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
$4$ 点がひし形を成す条件 C10’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数
  • 平行四辺形の条件,
  • ベクトルの直交条件(別解),
  • $2$ 次方程式
成分で表されたベクトルの大きさの最小値 B10’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数
  • ベクトルの大きさ,
  • $2$ 次関数の最小値
$4$ 点が等脚台形を成す条件 C10’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数
  • ベクトルの平行条件,
  • $2$ 次方程式
正五角形の対角線の長さ D15’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数
  • ベクトルの分解,
  • 一次独立なベクトルで $2$ 通りに表して係数を比較,
  • $2$ 次方程式
分点の位置ベクトルと共線条件 B10’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル,
  • 共線条件
三角形の内心の位置ベクトル D15’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル
ベクトルの等式を満たす点の位置と面積比 C10’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル
ベクトルの等式を満たす点の位置と体積比 D15’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル
正四面体の面の中線が成す角 C10’
  • ベクトル
  • ベクトルの内積の定義
正四面体の対辺の距離 C10’
  • ベクトル
  • $2$ 次関数
  • ベクトルの内積の定義,
  • ベクトルの大きさの最小値,
  • $2$ 変数 $2$ 次関数の最小値
対称な点が作るひし形 C10’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数
  • ベクトルの直交条件,
  • $2$ 次方程式
三角形の外心の位置ベクトル C10’
  • ベクトル
  • ベクトルの直交条件
四角形の内分点を結ぶ長方形と内積 D15’
  • ベクトル
  • 平行四辺形の条件,
  • 内分点の位置ベクトル,
  • ベクトルの直交条件
三角形のオイラー線 D15’
  • ベクトル
  • 重心の位置ベクトル,
  • ベクトルの直交条件,
  • 共線条件
正四面体の垂線の交点 D15’
  • ベクトル
  • 重心の位置ベクトル,
  • ベクトルの直交条件
ベクトルの内積の評価 C10’
  • ベクトル
  • コーシー-シュワルツの不等式
終点が異なる円周上を動くベクトルの内積の最大・最小 D25’
  • ベクトル
  • ベクトルの内積の最大・最小
終点が同一円周上を動くベクトルの内積の最小値 D25’
  • ベクトル
  • ベクトルの内積の最大・最小,
  • ベクトルの直交条件
ベクトルの内積と三角形の面積 B10’
  • ベクトル
  • ベクトルの内積と三角形の面積
格子点を結ぶ正三角形の非存在 D30’
  • ベクトル
  • ベクトルの内積と三角形の面積
三角形の外心に関する位置ベクトルと形状 D15’
  • ベクトル
  • 三角形の外心の性質,
  • ベクトルの内積の演算,
  • ベクトルの成す角と内積(別解)
直線に関して対称な点 B10’
  • ベクトル
  • ベクトルの直交条件,
  • 直線の方程式
折れ線の長さの最小値 D20’
  • ベクトル
  • ベクトルの直交条件,
  • 直線の方程式
$2$ 直線の共通垂線 C15’
  • ベクトル
  • ベクトルの直交条件,
  • 直線の方程式
三角形の垂心の位置ベクトル C15’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル,
  • 交点の位置ベクトル,
  • 共線条件
台形と平行条件・共線条件 D20’
  • ベクトル
  • ベクトルの平行条件,
  • 分点の位置ベクトル,
  • 交点の位置ベクトル,
  • 共線条件
四面体の体積 D20’
  • ベクトル
  • ベクトルの垂直条件,
  • 三角形の面積,
  • 平面の方程式
$2$ 平面と座標平面で囲まれた四角錐の体積 D15’
  • ベクトル
  • 平面の方程式,
  • 平面の交線
点と直線の距離 D15’
  • ベクトル
  • ベクトルの垂直条件,
  • 直線の方程式,
  • 平面の方程式
四面体の辺上にある $4$ 点の共面条件 C10’
  • ベクトル
  • 分点の位置ベクトル,
  • 共面条件
円の直径の最小値 D15’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数,
  • 図形と計量
  • 円の方程式,
  • $2$ 次関数の最小値,
  • 三角比の相互関係
内積の方程式が表す図形 C10’
  • ベクトル
  • ベクトルの直交条件,
  • 円の方程式
球の接線が作る円錐の体積 E25’
  • ベクトル,
  • 微分
  • 球の接線,
  • 関数の増減,
  • 中間値の定理
球に外接する八面体の体積の最小値 E25’
  • ベクトル,
  • 式と証明
  • 球の接平面,
  • 相加・相乗平均の関係
回転する立方体の頂点が描く軌跡 C15’
  • ベクトル,
  • 球の方程式,
  • $2$ つの球の共通部分
ベクトルの線形和で表された領域の和集合 B10’
  • ベクトル
  • 領域