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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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 ホームページ内の問題を, リンク集としてまとめたものです. 問題は定期的に更新しています.

数学 II 問題集

凡例

  • F = 頻出度(Frequency): 3 段階 ◎ > ○ > △
  • L = 難易度(Level): 5 段階 A < B < C < D < E
  • T = 記述式における解答時間の目安(Time): ' は単位の分を表す.
    レベルに応じてプラス $5$ 分~ $10$ 分.
    小問の番号が (1), (2), ... の場合: 大問の解答時間
    小問の番号が (a), (b), ... の場合: 小問の解答時間の最大値

問題

式と証明

 計 $27$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
二項係数の交代和 C15’
  • 式と証明
  • 二項定理
山型の順列 C10’
  • 場合の数・順列,
  • 式と証明
  • 組合せ,
  • 重複順列(別解),
  • 二項定理
二項係数の平方和 D20’
  • 式と証明
  • 二項定理
ファンデルモンドの畳み込み D20’
  • 式と証明
  • 二項定理
倍数の条件 D20’
  • 式と証明,
  • 整数
  • 二項定理,
  • 倍数・約数
フェルマーの小定理 D30’
  • 式と証明,
  • 整数
  • 二項定理,
  • 倍数・約数
累乗数の下位 B10’
  • 式と証明
  • 二項定理
割られる式の決定 C15’
  • 式と証明
  • 多項式の割り算
高次式の値 B10’
  • 式と証明
  • 多項式の割り算
多項式の別表現の係数の決定 C20’
  • 式と証明
  • 恒等式
等式を満たす多項式の決定 D30’
  • 式と証明
  • 恒等式
加比の理 A10’
  • 式と証明
  • 比例式
比例式の値 C20’
  • 式と証明
  • 比例式
等式を満たす数のいずれかの値 C10’
  • 式と証明
  • 比例式,
  • "少なくとも..."の証明
条件付き完全平方式の最大・最小 C10’
  • 式と証明
  • 完全平方式の最小値
等式を満たす複数の値の決定 D10’
  • 式と証明
  • "すべての..."の証明
不等式の変形 B10’
  • 式と証明
  • 不等式の証明,
  • 分数式
$\sqrt n$ と有理数の大小比較 D20’
  • 数と式,
  • 式と証明
  • 平方根の無理数性,
  • 不等式の証明
三角不等式 C30’
  • 式と証明,
  • 数と式
  • 不等式の証明,
  • 分数式,
  • 絶対値
$4$ 変数相加・相乗平均の不等式 C20’
  • 式と証明
  • 不等式の証明
並び替えと $3$ 変数相加・相乗平均の不等式 D20’
  • 式と証明
  • 並び替えの不等式,
  • 対称な多変数不等式
相加・相乗平均の不等式で求める最小値 B20’
  • 式と証明
  • 相加・相乗平均の不等式
三角形の面積を等分する線分 C20’
  • 図形と計量,
  • 式と証明
  • 三角形の面積,
  • 余弦定理,
  • 相加・相乗平均の不等式
チェビシェフの不等式 D20’
  • 式と証明
  • 不等式の証明
$2$ 項のチェビシェフの不等式 D30’
  • 式と証明
  • 不等式の証明
シューアの不等式 D30’
  • 式と証明,
  • 数と式
  • 対称な多変数不等式,
  • 因数分解
根号を含む絶対不等式 D20’
  • 式と証明,
  • $2$ 次関数
  • 不等式の証明,
  • $2$ 次関数の最大・最小

複素数と方程式

 計 $24$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
$n$ 次式を $2$ 次式で割った余り C10’
  • 複素数と方程式
  • 剰余の定理
$2$ 個の $1$ 次式とその積で割った余り B10’
  • 複素数と方程式
  • 剰余の定理
$1$ 次式と $1$ 次式の平方とその積で割った余り C20’
  • 複素数と方程式
  • 剰余の定理
多項式の一致と代入値の一致 D20’
  • 複素数と方程式
  • 因数定理
高次方程式 B15’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
立方数の判定法 B10’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
$3$ 次方程式の解の公式に関する立方根の和 E30’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
最大公約多項式の決定 D20’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
公約多項式であるための必要条件 C20’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
$3$ 次方程式の重解 D20’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
$1+\sqrt 2$ の共役解 C10’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式,
  • 因数定理
$1$ の虚数立方根 C15’
  • 複素数と方程式
  • 累乗根
虚数単位の立方根 C15’
  • 複素数と方程式
  • 累乗根
あるべき根の和の無理性 C10’
  • 複素数と方程式
  • 累乗根
相反 $4$ 次方程式 D20’
  • 複素数と方程式
  • 高次方程式
実係数高次方程式の解の評価 D30’
  • 式と証明,
  • 複素数と方程式
  • 三角不等式,
  • 高次方程式
$2$ 次方程式の解の対称式 C15’
  • 複素数と方程式
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
$2$ 次方程式の $2$ 解の関係 C15’
  • 複素数と方程式
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
解から $2$ 次方程式の作成 B10’
  • 複素数と方程式
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
$2$ つの $2$ 次方程式の解の関係 C15’
  • 複素数と方程式
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
連立 $2$ 次方程式の解の存在範囲 D15’
  • 複素数と方程式
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
$2$ 次方程式の整数解 C20’
  • 複素数と方程式,
  • 整数
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係,
  • 方程式の整数解
連立 $3$ 次方程式 C20’
  • 複素数と方程式
  • $3$ 次方程式の解と係数の関係

図形と方程式

 計 $24$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
中線定理 B20’
  • 図形と方程式
  • $2$ 点間の距離
定点を通る直線 B10’
  • 図形と方程式
  • 直線の方程式
角の二等分線と内接円 B10’
  • 図形と方程式
  • 点と直線の距離
$3$ 点の共線条件・直線の直交条件 B10’
  • 図形と方程式
  • 共線条件,
  • 直線の直交条件
$3$ 直線が三角形を成さない条件 B10’
  • 図形と方程式
  • 直線の関係
線対称な点・直線 B10’
  • 図形と方程式
  • 線対称な点,
  • 直線の直交条件
放物線上の線対称な点 C20’
  • 図形と方程式
  • 線対称な点,
  • 直線の直交条件
$3$ 直線の成す三角形の面積・外心 B20’
  • 図形と方程式
  • ベクトル(別解)
  • $2$ 点間の距離,
  • 点と直線の距離
  • 円の方程式
  • ベクトルの成す三角形の面積(別解)
定点を通る円 B10’
  • 図形と方程式
  • 円の方程式
円の弦長 B10’
  • 図形と方程式
  • 円と直線の関係
外部から引いた円の接線と面積 C20’
  • 図形と方程式
  • 円の接線
放物線上の点を結ぶ円の接線 E30’
  • 図形と方程式,
  • 複素数と方程式
  • 円の接線,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
原始ピタゴラス数の幾何的な求め方 D30’
  • 図形と方程式
  • 円と直線の関係
$2$ 円の交点を通る直線・円 C20’
  • 図形と方程式
  • $2$ 円の関係,
  • 円と直線の関係
$2$ 円の共通接線 C20’
  • 図形と方程式
  • 円の接線
アポロニウスの円 A10’
  • 図形と方程式
  • 軌跡,
三角形の重心の軌跡 B20’
  • 図形と方程式
  • 軌跡,
  • 三角形の重心,
パラメータを含む方程式で表された円の中心の軌跡 B10’
  • 図形と方程式
  • 円,
  • 図形の媒介変数表示
直線の交点の軌跡 D20’
  • 図形と方程式
  • 軌跡,
  • 円,
  • $2$ 直線の直交条件(別解)
円と直線に接する円の中心の軌跡 C20’
  • 図形と方程式
  • $2$ 円の位置関係,
  • 軌跡
直線の円に関する反転 C20’
  • 図形と方程式
  • 軌跡
弦の中点の軌跡 D20’
  • 図形と方程式,
  • 複素数と方程式
  • 軌跡,
  • 円,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係,
  • 不等式で表された図形
線形計画法 B20’
  • 図形と方程式
  • 不等式で表された領域,
  • 直線
対称式で表された点の軌跡, 不等式で表された領域における最大・最小 D30’
  • 図形と方程式,
  • $2$ 次関数
  • 軌跡,
  • 不等式で表された領域,
  • $2$ 次方程式の解の判定

三角関数

 計 $16$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
加法定理と三角関数の和・差の値 C20’
  • 三角関数
  • 加法定理
三角関数の加法定理と恒等式 D30’
  • 三角関数,
  • 式と証明
  • 加法定理,
  • 恒等式
回転した直線の傾き B10’
  • 三角関数
  • $2$ 直線の成す角
仰角の差と距離の最大値 D30’
  • 三角関数,
  • 式と証明
  • 三角関数の加法定理,
  • 三角関数の単調性,
  • 相加・相乗平均の関係
斜辺が一定の直角三角形の面積の最大値 B10’
  • 三角関数
  • $2$ 倍角の公式
$3$ 倍角の公式と $\cos 36^\circ$ の値 C20’
  • 三角関数
  • $3$ 倍角の公式
定速と倍速で円周上を動く $2$ 点間の距離 C20’
  • 三角関数,
  • $2$ 次関数
  • 加法定理,
  • $2$ 次関数の最大・最小
チェビシェフの多項式と三角比の和 D20’
  • 三角関数,
  • 複素数と方程式
  • 加法定理,
  • $3$ 次方程式の解と係数の関係
原始ピタゴラス数の解析的な求め方 D30’
  • 三角関数
  • 倍角の公式
正弦関数の凸性 D20’
  • 三角関数,
  • 式と証明
  • 和・積の公式,
  • 大小比較
和・積の公式と不等式 C20’
  • 三角関数
  • 和・積の公式,
  • 三角不等式
三角形の内角の余弦の和 E30’
  • 式と証明,
  • 三角関数,
  • 図形と計量(別解)
  • 不等式の証明,
  • 和・積の公式,
  • 半角の公式,
  • 余弦定理(別解)
正七角形の対角線の関係式 E30’
  • 三角関数,
  • 平面図形(別解)
  • 和・積の公式,
  • 積・和の公式,
  • トレミーの定理(別解)
斜辺が一定の直角三角形の周長の最大値 B10’
  • 三角関数
  • 三角関数の合成
三角形に正三角形を付け加えた四角形の面積 D20’
  • 図形と計量,
  • 三角関数
  • 三角形の面積,
  • 余弦定理,
  • 三角関数の合成
円の等分点の $y$ 座標の和 D30’
  • 三角関数
  • 三角関数の周期性,
  • 三角関数の合成

指数と対数

 計 $13$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
$n$ の $n$ 乗根の大小比較 B10’
  • 指数と対数
  • 累乗の大小比較
指数を入れ替えた累乗の積の比較 C20’
  • 指数と対数,
  • 式と証明
  • 累乗の大小比較,
  • 大小比較
有理数の無理数乗のあるペア D20’
  • 数と式,
  • 指数と対数,
  • 無理数,
  • 指数法則
指数方程式と $2$ 次方程式 C10’
  • 指数と対数,
  • $2$ 次関数
  • 指数方程式,
  • $2$ 次方程式の解の存在範囲
対数の大小比較 C10’
  • 指数と対数,
  • 式と証明
  • 底の変換,
  • 大小比較
対数の無理数性 B10’
  • 指数と対数,
  • 整数
  • 対数,
  • 素因数分解
定数方程式と $2$ 次方程式 C20’
  • 指数と対数,
  • $2$ 次関数
  • 底の変換,
  • $2$ 次関数の最大・最小
指数関数の連立方程式 C10’
  • 指数と対数
  • 対数
対数の無理数性 B10’
  • 指数と対数,
  • 整数
  • 対数,
  • 素因数分解
条件付き対数関数の最大・最小 C20’
  • 指数と対数,
  • $2$ 次関数
  • 対数関数の最大・最小,
  • 条件付き $2$ 次関数の最大・最小
$2$ の累乗の桁数と最高位 D30’
  • 指数と対数
  • 常用対数
小数の大きさ D20’
  • 指数と対数
  • 常用対数
常用対数の評価 C20’
  • 指数と対数,
  • 式と証明
  • 常用対数,
  • 相加・相乗平均の関係

微分

 計 $23$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
極限と微分係数 C30’
  • 微分
  • 微分係数
加法的関数の導関数 C10’
  • 微分
  • 微分係数
微分方程式を満たす多項式 D20’
  • 微分,
  • 式と証明
  • 導関数,
  • 多項式
極値による $3$ 次関数の決定 B20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
$3$ 次関数の極値の差 C20’
  • 微分,
  • 複素数と方程式
  • 関数の増減・極値,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
$3$ 次関数が極値を持つ条件 D20’
  • 微分,
  • $2$ 次関数,
  • 図形と方程式
  • 関数の増減・極値,
  • $2$ 次方程式の解の存在範囲,
  • 不等式で表された領域
外部から引いた $3$ 次関数のグラフの接線 B10’
  • 微分
  • 接線
放物線の極線 D20’
  • 微分
  • 接線
グラフの接線による $3$ 次関数の決定 C20’
  • 微分
  • 接線
$3$ 次関数のグラフの平行な $2$ 接線 D20’
  • 微分,
  • 複素数と方程式
  • 接線,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
放物線と $3$ 次関数のグラフの共通接線 C20’
  • 微分,
  • 図形と方程式
  • 接線,
  • 直線の一致条件
放物線の共通接線と相似 E50’
  • 微分,
  • 図形と計量
  • 接線,
  • 相似
$3$ 次関数のグラフの直交する $2$ 接線 D30’
  • 微分,
  • 図形と方程式,
  • $2$ 次関数,
  • 複素数と方程式(別解)
  • 接線,
  • 直線の直交条件,
  • $2$ 次方程式の解の存在範囲,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
球に内接する円錐の体積の最大値 B20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
周長が一定の二等辺三角形の面積の最大値 C20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
半球が内接する円錐の体積の最小値 D20’
  • 図形と方程式,
  • 微分
  • 円の接線,
  • 関数の増減・極値
指数関数と $3$ 次関数の合成の最大・最小 C10’
  • 指数と対数,
  • 微分
  • 指数関数,
  • 関数の増減・極値
高次の三角関数の最大・最小 D30’
  • 図形と計量,
  • 三角関数,
  • 微分
  • 三角比の相互関係,
  • 三角比の合成,
  • 関数の増減・極値
条件付き $3$ 次関数の最大・最小 D20’
  • 複素数と方程式,
  • 微分
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係,
  • 関数の増減・極値
$3$ 次方程式が実数解を持つ条件 C20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
条件付き $1$ 変数 $3$ 次不等式 B20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
$4$ 次の絶対不等式 D20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値
$2$ つの $3$ 次関数の比較 D20’
  • 微分
  • 関数の増減・極値

積分

 計 $17$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
定積分の値による $2$ 次関数の決定 B20’
  • 積分
  • 偶関数・奇関数の定積分
微積分学の基本定理による多項式関数の決定 B10’
  • 積分
  • 微積分学の基本定理
定積分を含む関数等式を満たす $1$ 次関数 B20’
  • 積分
  • 定積分
定積分を含む連立関数等式を満たす $1$ 次関数 B10’
  • 積分
  • 定積分
定積分を含む関数等式を満たす多項式関数 C20’
  • 積分
  • 定積分
定積分で定まる関数の最小値 D30’
  • 積分,
  • 微分
  • 定積分,
  • 関数の増減・極値
放物線と接線を境界に持つ領域の面積 C20’
  • 積分
  • 面積
$2$ 次関数の絶対値のグラフと直線で囲まれた領域の面積 C20’
  • 積分
  • 面積
$2$ 次関数と無理関数のグラフで囲まれた領域の面積 C10’
  • 積分
  • 曲線と $y$ 軸で囲まれた領域の面積
面積による直線の決定 C10’
  • 積分
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
放物線と $x$ 軸で囲まれた領域の等分 C20’
  • 積分
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
放物線と $2$ 本の接線で囲まれた領域の面積 E30’
  • 微分,
  • 積分
  • 接線,
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
放物線から放物線に引いた接線と面積 D20’
  • 微分,
  • 積分
  • 接線,
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
放物線と直線で囲まれた最小の領域 C20’
  • 積分
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
放物線と円周と $x$ 軸の接点と面積 C30’
  • 積分
  • 放物線と直線で囲まれた領域の面積
$3$ 次関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた領域の面積 D20’
  • 積分
  • 面積
高次式で表された面積の最小値 D30’
  • 積分,
  • 微分
  • 面積,
  • 関数の増減・極値