COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).
 ホームページ内の問題を, リンク集としてまとめたものです. 問題は定期的に更新しています.

数学 III 問題集

凡例

  • F = 頻出度(Frequency): 3 段階 ◎ > ○ > △
  • L = 難易度(Level): 5 段階 A < B < C < D < E
  • T = 記述式における解答時間の目安(Time): ' は単位の分を表す.
    レベルに応じてプラス $5$ 分~ $10$ 分.
    小問の番号が (1), (2), ... の場合: 大問の解答時間
    小問の番号が (a), (b), ... の場合: 小問の解答時間の最大値

問題

複素数平面

 計 $19$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
複素数の絶対値の計算 B10’
  • 複素数平面
  • 複素数の絶対値
三角不等式 D30’
  • 複素数平面
  • 複素数の絶対値
複素数の $4$ 乗根 A10’
  • 複素数平面
  • ド・モアブルの定理
スパイラルの交点 C20’
  • 複素数平面
  • ド・モアブルの定理
円の等分点と三角比の積 D20’
  • 複素数平面,
  • 三角関数
  • ド・モアブルの定理,
  • $1$ の $n$ 乗根,
  • 半角の公式
$3$ 倍角の公式 B10’
  • 複素数平面,
  • 三角関数
  • ド・モアブルの定理,
  • $3$ 倍角の公式
共円条件 C20’
  • 複素数平面
アポロニウスの円 D30’
  • 複素数平面
複素数平面上の正三角形 C20’
  • 複素数平面
  • 回転
円の回転 C10’
  • 複素数平面
  • 回転
共線条件の表す図形 D20’
  • 複素数平面
  • 共線条件,
複素数平面上の $4$ 点を通る円 C10’
  • 複素数平面
  • 偏角
円円対応 C20’
  • 複素数平面
三角形を正三角形にする頂点の回転 D30’
  • 複素数平面
  • 回転,
  • $1$ の $3$ 乗根
三角形の外心 D20’
  • 複素数平面
  • 垂直二等分線,
  • 共線条件
三角形の内心 C10’
  • 複素数平面
  • 角の二等分線,
  • 内分点
単位円に内接する三角形の垂心 E30’
  • 複素数平面
  • 直線の方程式,
  • 単位円の直交する弦
トレミーの不等式・トレミーの定理 E40’
  • 数と式,
  • 複素数平面
  • 因数分解,
  • 三角不等式,
  • 共円条件
漸化式が定める円周上の点列 E40’
  • 複素数平面
  • 円の方程式

式と曲線

 計 $12$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
パラボラアンテナの原理 B10’
  • 式と曲線,
  • 微分,
  • $2$ 次方程式(別解)
  • 放物線の焦点・接線,
  • 接線,
  • $2$ 次方程式の重解条件(別解)
放物線の焦点・接線・法線の位置関係 B10’
  • 式と曲線,
  • 微分,
  • $2$ 次方程式(別解)
  • 放物線の焦点・接線,
  • 接線,
  • $2$ 次方程式の重解条件(別解)
放物線の焦点を通る弦の長さに関する定量問題 C20’
  • 式と曲線,
  • 図形と計量,
  • 複素数と方程式(別解)
  • 放物線の焦点・準線・離心率,
  • 三角比の相互関係,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係(別解)
放物線の準線の特徴付け C20’
  • 式と曲線,
  • $2$ 次関数,
  • 図形と方程式
  • 放物線の接線,
  • $2$ 次方程式の重解条件,
  • 直線の直交条件
楕円の原点を通る弦の長さに関する定量問題 B10’
  • 式と曲線,
  • 図形と計量
  • 極座標表示,
  • 三角比の相互関係
楕円の焦点を通る弦の長さに関する定量問題 D20’
  • 式と曲線,
  • 図形と計量,
  • 複素数と方程式(別解)
  • 楕円の焦点・準線・離心率,
  • 三角比の相互関係,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係
楕円に外接する長方形 E50’
  • 式と曲線,
  • $2$ 次関数,
  • 図形と方程式,
  • 微分
  • 楕円,
  • $2$ 次方程式の重解,
  • 直線の直交条件,
  • 点と直線の距離,
  • 関数の増減
球の影の面積 D20’
  • ベクトル,
  • $2$ 次関数,
  • 式と曲線
  • 直線のベクトル方程式,
  • $2$ 次方程式の重解条件,
  • 楕円の面積
楕円に内接する三角形の面積の最大値 D30’
  • 式と曲線,
  • 図形と計量,
  • 三角関数,
  • 微分,
  • 式と証明(別解)
  • 楕円の面積,
  • 三角形の面積,
  • 和・積の公式,
  • 関数の増減,
  • 相加・相乗平均の関係(別解)
双曲線による反射 D20’
  • 式と曲線,
  • 平面図形,
  • 三角関数(別解)
  • 双曲線の焦点・接線,
  • 角の $2$ 等分線の性質,
  • $2$ 直線の成す角(別解)
双曲線の準円 D30’
  • 式と曲線,
  • $2$ 次関数,
  • 図形と方程式
  • 双曲線の接線,
  • $2$ 次方程式の重解条件,
  • 直線の直交条件
楕円と双曲線の直交 C20’
  • 式と曲線,
  • 図形と方程式,
  • ベクトル
  • 楕円・双曲線の焦点,
  • 楕円・双曲線の接線,
  • 直線の直交条件

関数

 計 $7$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
分数関数の決定・不等式 B10’
  • 関数
  • 分数関数
双曲線を結ぶ弦の長さの最小値 D20’
  • 関数,
  • 複素数と方程式,
  • 式と証明
  • 分数関数,
  • $2$ 次方程式の解と係数の関係,
  • 相加相乗平均の関係
合成に関して可換な関数 B10’
  • 関数,
  • 式と証明
  • 合成関数,
  • 恒等式
分数関数の合成関数 D15’
  • 関数,
  • 数列
  • 合成関数,
  • 繁分数式,
  • 数学的帰納法
多項式関数の不動点 C15’
  • 関数,
  • 複素数と方程式
  • 合成関数,
  • 高次方程式,
  • 因数定理
指数関数と分数関数の合成の逆関数 C15’
  • 関数,
  • 指数と対数
  • 逆関数,
  • 指数関数・対数関数
分数関数の逆関数 C15’
  • 関数
  • 分数関数,
  • 逆関数

極限

 計 $17$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
累乗の和に関する極限 B10’
  • 極限,
  • 数列
  • 数列の極限,
  • 多項式で表される数列の和
元の数列の極限 B10’
  • 極限
  • 数列の極限
多重平方根の極限 D25’
  • 極限
  • 数列の評価,
  • 挟みうちの原理
$2$ 次漸化式で定まる数列の極限 C20’
  • 極限
  • 数列の評価,
  • 挟みうちの原理
$3$ 次漸化式で定まる数列の極限 D20’
  • 複素数と方程式,
  • 極限
  • 高次方程式,
  • 数列の評価,
  • 挟みうちの原理
ネイピア数の定義を用いた確率の極限の計算 D20’
  • 確率,
  • 極限
  • 余事象・積事象の確率,
  • ネイピア数
オイラーの定数に関係する数列の極限 D10’
  • 極限
  • 数列の極限
点列の極限・無限個の頂点を持つ折れ線の長さ D25’
  • 数列,
  • 極限
  • $2$ 項間線形漸化式,
  • 数列の極限,
  • 無限等比級数
フラクタル図形の面積 D20’
  • 図形と計量,
  • 極限
  • 余弦定理,
  • 無限等比級数
反復試行の期待値の極限 E50’
  • 確率,
  • 数列,
  • 極限
  • 確率の漸化式,
  • $3$ 項間線形漸化式,
  • 無限等比級数
ガウス記号に関する群数列と無限級数 C15’
  • 数列,
  • 極限
  • 群数列,
  • 数列の極限
曲線 $y = \sqrt{x^2+1}$ の漸近線 C15’
  • 極限
  • 関数の極限
半円形の鏡による反射に関する極限 C10’
  • 図形と計量,
  • 極限
  • 正弦定理,
  • 三角関数の極限
ガウス記号を含む関数の連続性 A5’
  • 極限
  • 連続関数
極限関数の連続性 C10’
  • 極限
  • 等比数列の極限,
  • 連続関数
$2$ 次方程式の解の存在範囲 C10’
  • 極限
  • 連続関数,
  • 中間値の定理
$3$ 次関数のグラフの接線の本数 D20’
  • 微分,
  • 極限,
  • 図形と方程式
  • 接線,
  • 関数の増減・極値,
  • 中間値の定理,
  • 不等式で表された領域

微分

 計 $36$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
連続性と微分可能性 C10’
  • 微分,
  • 極限
  • 微分可能性の定義,
  • 連続性の定義,
  • 三角関数と極限
微分を利用した極限の計算 C10’
  • 微分,
  • 極限
  • 微分係数の定義,
  • 積・合成関数の導関数
合成関数の微分係数 C10’
  • 微分
  • 合成関数の導関数
対数微分法 C10’
  • 微分
  • 対数微分法
微分係数による重解の判定 C20’
  • 微分,
  • 式と証明
  • 積の導関数,
  • 多項式の除法
チェビシェフの多項式の関係 E20’
  • 微分,
  • 式と証明,
  • 三角関数,
  • 数列
  • 合成関数の微分,
  • 多項式の一致条件,
  • 加法定理,
  • 数学的帰納法
高階導関数に関するライプニッツの公式 D40’
  • 微分,
  • 数列,
  • 場合の数
  • 積の導関数,
  • 数学的帰納法,
  • 二項係数
高階導関数に関する漸化式 D20’
  • 微分,
  • 数列
  • 積の導関数,
  • 数学的帰納法,
  • 漸化式,
  • 階差数列
($1$ 次関数)$\div$(定符号 $2$ 次関数)のグラフ B15’
  • 微分,
  • 極限
  • 商の導関数,
  • 関数の増減・極値
($3$ 次関数)$\div$(不定符号 $2$ 次関数)のグラフ C15’
  • 微分,
  • 極限
  • 商の導関数,
  • 関数の増減・極値,
  • 漸近線
(単調 $3$ 次関数)$\div$($1$ 次関数)のグラフ C15’
  • 微分,
  • 極限
  • 商の導関数,
  • 関数の増減・極値,
  • 漸近線
陽関数表示された斜め楕円 C15’
  • 微分,
  • 極限
  • 商の導関数,
  • 関数の増減・極値
陽関数表示された斜め双曲線 C15’
  • 微分,
  • 極限
  • 商の導関数,
  • 関数の増減・極値,
  • 漸近線
双曲線関数のグラフ B15’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減・極値
減衰曲線 C10’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減・極値,
  • 挟みうちの原理
変曲点の軌跡 C10’
  • 微分,
  • 図形と方程式
  • 合成関数・商の導関数,
  • 高階導関数,
  • 変曲点,
  • 軌跡
$3$ 次関数のグラフの点対称性 D20’
  • 微分
  • 関数の増減,
  • 変曲点,
  • 点対称
カージオイドの概形 C20’
  • 微分
  • 関数の増減
接線の本数 C10’
  • 微分,
  • $2$ 次関数
  • 合成関数の微分,
  • 接線,
  • $2$ 次方程式
$2$ 曲線の共有点における共通接線 C15’
  • 微分,
  • 指数と対数
  • 接線,
  • 指数の計算
媒介変数表示された曲線の接線 B10’
  • 微分
  • 接線,
  • 媒介変数表示された関数の導関数
陰関数表示された曲線の接線の定量問題 C10’
  • 微分
  • 接線,
  • 陰関数表示された関数の導関数
$3$ 次関数のグラフの接線に関する対称性 E25’
  • 微分,
  • 複素数と方程式,
  • 極限
  • 接線,
  • 変曲点,
  • 因数定理,
  • 中間値の定理
平均値の定理による不等式の証明 C10’
  • 微分
  • 関数の増減,
  • 平均値の定理
平均値の定理を利用した極限の計算 D15’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減,
  • 平均値の定理,
  • 挟みうちの原理
  • 連続関数
凸関数と不等式 D20’
  • 微分
  • 商の導関数,
  • 関数の増減,
  • 平均値の定理
$n$ の $n$ 乗根の最大値 D15’
  • 微分,
  • 指数と対数
  • 商の導関数,
  • 関数の増減,
  • 対数の計算
体積が一定な円錐の表面積の最小値 C10’
  • 微分
  • 関数の増減,
  • 扇形の面積
条件付き対称式の最大・最小 D15’
  • 微分,
  • $2$ 次関数
  • 関数の増減,
  • $2$ 次方程式の解の存在範囲
多変数関数の最小値 D20’
  • 微分
  • 関数の増減
点と関数のグラフの距離 E20’
  • 微分
  • 関数の増減
放物線の間の距離 E40’
  • 微分
  • 関数の増減
高次方程式の実数解の判定 B10’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減,
  • 中間値の定理
指数関数を含む方程式の実数解 D20’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減,
  • 中間値の定理
テイラー展開に関する不等式と極限値 D15’
  • 微分,
  • 極限
  • 関数の増減,
  • 挟みうちの原理
絶対不等式の成立条件 E30’
  • 微分,
  • 三角関数(別解),
  • 極限(別解)
  • 関数の増減,
  • 偶関数,
  • 加法定理(別解),
  • 三角関数の極限(別解)
不等式の解を持つ条件が表す領域 D20’
  • 微分,
  • 図形と方程式
  • 関数の増減,
  • 不等式の表す領域

積分

 計 $46$ 問
問題 FLT 分野 キーワード
分数関数の不定積分 B5’
  • 積分
  • 不定積分,
  • 部分分数分解
関数方程式と導関数 D15’
  • 積分,
  • 微分
  • 不定積分,
  • 微分係数,
  • 導関数
累乗の微分の定積分 C5’
  • 積分
  • 定積分
対数微分の定積分 C5’
  • 積分
  • 定積分
三角関数の積の定積分 C10’
  • 積分,
  • 三角関数
  • 定積分,
  • 和・積の公式
簡単な根号を含む定積分 C10’
  • 積分
  • 定積分,
  • 置換積分
三角関数の奇数乗の定積分 C10’
  • 積分,
  • 三角関数
  • 定積分,
  • 置換積分
分母に三角関数と定数の和を含む定積分 C10’
  • 積分,
  • 三角関数
  • 定積分,
  • 置換積分,
  • 加法定理
置換積分による同形出現 D5’
  • 積分
  • 定積分,
  • 置換積分
特殊な分数関数の定積分 D10’
  • 積分
  • 定積分,
  • 置換積分
定積分の漸化式 D20’
  • 積分
  • 定積分,
  • 置換積分
区間が一定の定積分の等式を満たす関数 C15’
  • 積分
  • 定積分,
  • 部分積分
区間が動く定積分の等式を満たす関数 C15’
  • 積分
  • 定積分,
  • 微分積分学の基本定理
定積分の漸化式で定まる関数列の極限 E25’
  • 積分,
  • 数列,
  • 式と証明,
  • 三角関数
  • 定積分,
  • 連立漸化式,
  • 三角不等式,
  • 加法定理
定積分の評価 C15’
  • 積分,
  • 微分
  • 定積分と不等式,
  • 置換積分,
  • 微分の不等式への応用
定積分の不等式と極限 D25’
  • 積分,
  • 極限,
  • 微分
  • 定積分と不等式,
  • 挟みうちの原理,
  • 微分の不等式への応用
定積分の不等式と無限級数 D25’
  • 積分,
  • 極限
  • 置換積分,
  • 定積分と不等式,
  • 挟みうちの原理,
  • 無限級数
定積分に関するコーシー-シュワルツの不等式 E20’
  • 積分,
  • $2$ 次関数
  • 定積分と不等式,
  • コーシー-シュワルツの不等式,
  • $2$ 次不等式
関数のグラフと $x$ 軸の間の面積 B10’
  • 積分,
  • 微分
  • 面積,
  • 関数の増減
$y$ 軸方向の積分による面積の計算 D20’
  • 積分,
  • 微分
  • 面積,
  • 関数の増減
正弦曲線による面積の等分 D20’
  • 積分,
  • 三角関数
  • 面積,
  • グラフの対称性,
  • 加法定理
$2$ 曲線と共通接線の間の面積 E25’
  • 積分,
  • 微分
  • 面積,
  • 共通接線
減衰曲線に関する面積の極限 D30’
  • 積分,
  • 極限
  • 部分積分,
  • 面積,
  • 無限級数
正弦曲線に関する面積の最小値 D20’
  • 積分,
  • 微分
  • 面積,
  • 関数の増減
円の面積 C5’
  • 積分
  • 面積,
  • 置換積分
楕円の共通部分の面積 C15’
  • 積分,
  • 面積,
  • 置換積分
サイクロイドと $x$ 軸の間の面積 C10’
  • 積分
  • 媒介変数で表された図形の面積
アステロイドの内部の面積 D20’
  • 積分
  • 媒介変数表示された図形の面積
カージオイドの内部の面積 D30’
  • 積分
  • 媒介変数表示された図形の面積,
  • 極表示された図形の面積(別解)
区分求積法 C10’
  • 積分
  • 区分求積法
メルカトル級数 D20’
  • 積分
  • 極限
  • 区分求積法
  • 無限級数
交代和の区分求積法 D30’
  • 極限
  • 積分
  • 平均値の定理
  • 区分求積法
  • 挟みうちの原理
逆関数の定積分 D20’
  • 関数,
  • 積分
  • 逆関数,
  • 定積分
$3$ 次元アステロイドの体積 D30’
  • 積分
  • 体積,
  • 断面積
円柱の共通部分の体積 C15’
  • 積分
  • 体積,
  • 断面積
$3$ 次関数の対称性・回転体の体積 D25’
  • 微分,
  • 積分
  • $2$ 次導関数,
  • 関数の増減,
  • $3$ 次関数の対称性,
  • 回転体の体積
軸をまたぐ図形の回転体の体積 D20'
  • 積分
  • 回転体の体積,
  • 折り返し
カージオイドの回転体の体積 D30'
  • 積分
  • 回転体の体積
$y$ 軸の周りの回転体の体積 C10'
  • 積分
  • $y$ 軸の周りの回転体の体積
バウムクーヘン分割による体積の計算 D25'
  • 積分,
  • 微分
  • $y$ 軸の周りの回転体の体積,
  • 逆関数の微分
アステロイドの回転体の体積 D25'
  • 積分
  • 媒介変数で表された図形の回転体の体積
$y = x$ の周りの回転体の体積 D30'
  • 積分
  • 回転体の体積,
  • 置換積分
正四面体の回転体の体積 D25'
  • 積分
  • 立体の回転体の体積
立方体を斜めに回転した立体の体積 E50'
  • 積分
  • 立体の回転体の体積
アステロイドの長さ B10'
  • 積分
  • 曲線の長さ
螺旋の長さ D25'
  • 積分
  • 曲線の長さ