COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次方程式

$2$ 次方程式

定理≪$2$ 次方程式の解の公式≫

 実数が係数の $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ ($a \neq 0$)の解は \[ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] である.

証明

\begin{align*} &ax^2+bx+c = 0 \\ &\iff a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a} \\ &\iff \left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ &\iff x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &\iff x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} から, 求める結果が得られる.

問題≪黄金長方形≫

 $1 = \mathrm{AB} < \mathrm{AD}$ なる長方形 $\mathrm{ABCD}$ から正方形 $\mathrm{ABFE}$ を切り取ってできる長方形 $\mathrm{DEFC}$ がもとの長方形 $\mathrm{ABCD}$ と相似になるとき, 辺 $\mathrm{AD}$ の長さ $x$ を求めよ. ただし, $\mathrm E,$ $\mathrm F$ はそれぞれ辺 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BC}$ 上の点である.

解答例

 こちらを参照.