COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次方程式

$2$ 次方程式

定理≪$2$ 次方程式の解の公式≫

 実数が係数の $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ ($a \neq 0$)の解は \[ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] である.

証明

\begin{align*} &ax^2+bx+c = 0 \\ &\iff a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a} \\ &\iff \left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ &\iff x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &\iff x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} から, 求める結果が得られる.

問題≪黄金長方形≫

 $1 = \mathrm{AB} < \mathrm{AD}$ なる長方形 $\mathrm{ABCD}$ から正方形 $\mathrm{ABFE}$ を切り取ってできる長方形 $\mathrm{DEFC}$ がもとの長方形 $\mathrm{ABCD}$ と相似になるとき, 辺 $\mathrm{AD}$ の長さ $x$ を求めよ. ただし, $\mathrm E,$ $\mathrm F$ はそれぞれ辺 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BC}$ 上の点である.

解答例

 仮定から $\mathrm{AB}:\mathrm{AD} = \mathrm{DE}:\mathrm{DC}$ つまり $1:x = (x-1):1$ であるので, $x(x-1) = 1^2$ から \[ x^2-x-1 = 0\] が成り立つ.
解の公式により \[ x = \dfrac{1\pm\sqrt 5}{2}\] であるが, $x > 0$ であるから \[ x = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}\] である.

背景

 短辺と長辺の比が, 長辺から短辺を引いた差と短辺の比に等しいような長方形を「黄金長方形」(golden rectangle)と呼び, その辺の長さの比 $1:\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ (約 $3:5$)を「黄金比」(golden ratio)と呼ぶ. 「黄金比」は最も美しい比であると言われ, 多くの美術作品の中にこの比を見ることができる.