COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次方程式

問題

$2$ 次方程式

問題≪$2$ 次方程式の文章題≫

 長方形を $1$ つの対角線に沿って切り, $2$ つの直角三角形に分割すると, 外周の和が元の長方形の外周の $\dfrac{12}{7}$ になった. 元の長方形の辺の比を求めよ.

解答例

 相似な長方形の辺と対角線の比は一定だから, 長方形の外周と対角線で $2$ 分割した直角三角形の外周の和の比は長方形の辺の比のみに依存する.
よって, 題意を満たす $1$ 辺が $1,$ $x$ の長方形について, $1:x$ が求める比である. 条件より, \begin{align*} 2(x+1+\sqrt{x^2+1}) &= \frac{12}{7}\cdot 2(x+1). \\ \therefore 7\sqrt{x^2+1} &= 5(x+1). \end{align*} 両辺を $2$ 乗すると, \begin{align*} &49(x^2+1) = 25(x^2+2x+1). \\ \therefore&12x^2-25x+12 = 0. \end{align*} よって, $(4x-3)(3x-4) = 0$ より, \[ x = \frac{3}{4},\ \frac{4}{3}.\] ゆえに, 求める長方形の辺の比は, $3:4.$

問題≪$2$ 次方程式の共通解≫

 $2$ つの $2$ 次方程式 \begin{align*} x^2-2ax+a &= 0 \quad \cdots [1], \\ x^2+(1-a)x-a^2 &= 0 \quad \cdots [2] \end{align*} が唯 $1$ つの共通解 $\alpha$ を持つとき, 定数 $a$ と解 $\alpha$ の値を求めよ.

解答例

 $x = \alpha$ を $[1],$ $[2]$ に代入すると, \begin{align*} \alpha ^2-2a\alpha +a &= 0 \quad \cdots [3], \\ \alpha ^2+(1-a)\alpha -a^2 &= 0 \quad \cdots [4]. \end{align*} よって, $[3]-[4]$ より, \[ 0 = -(a+1)\alpha +a^2+a = (a+1)(a-\alpha )\] となるから, \[ a = -1,\ \alpha.\]
(I)
$a = -1$ のとき. $[1],$ $[2]$ はともに $x^2+2x-1 = 0$ となり, $2$ つの共通解 $x = -1\pm\sqrt 2$ を持つから, 条件は満たされない.
(II)
$a = \alpha$ のとき. $[3]$ より, \[ 0 = a^2-2a\cdot a+a = -a(a-1) = 0\] となるから, \[ a = 0,\ 1.\]
(i)
$a = 0$ のとき. $[1]$ は $x^2 = 0,$ $[2]$ は $x^2+x = 0$ すなわち $x(x+1) = 0$ となるから, $[1],$ $[2]$ は唯 $1$ つの共通解 $x = 0$ を持つ.
(ii)
$a = 1$ のとき. $[1]$ は $x^2-2x+1 = 0$ すなわち $(x-1)^2 = 0,$ $[2]$ は $x^2-1 = 0$ すなわち $(x+1)(x-1) = 0$ となるから, $[1],$ $[2]$ は唯 $1$ つの共通解 $x = 1$ を持つ.
(I), (II) より, \[ (a, \alpha ) = (0,\ 0),\ (1,\ 1).\]

問題≪$2$ 変数 $2$ 次多項式の因数分解≫

 多項式 $f(x,\ y) = x^2+5xy+6y^2-5x-13y+a$ が $1$ 次多項式の積に分解されるように定数 $a$ の値を定め, 因数分解せよ.

解答例

 $f(x,\ y) = 0$ すなわち \[ x^2+5(y-1)x+(6y^2-13y+a) = 0\] を $x$ について解くと, \[ x = \frac{-5(y-1)\pm\sqrt D}{2}\] となる. ただし, \[ D \!=\! 25(y\!-\!1)^2\!-\!4(6y^2\!-\!13y\!+\!a) \!=\! y^2\!+\!2y\!+\!(25\!-\!4a).\] $f(x,\ y)$ が $1$ 次多項式の積に分解されるとき, $D$ は $y$ のある $1$ 次多項式の $2$ 乗になる.
よって, $y$ の $2$ 次多項式 $D$ の判別式を $E$ とおくと, $E = 0$ より \[\frac{E}{4} = 1^2-(25-4a) = 0\] となるから, \[ a = 6.\] このとき, $D = (y+1)^2$ より, $f(x,\ y) = 0$ の解は, \[ x = \frac{-5(y-1)\pm (y+1)}{2} = -2y+3,\ -3y+2.\] ゆえに, $a = 6$ のとき, \[ f(x,\ y) = (x+2y-3)(x+3y-2).\]