COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$2$ 次不等式

問題

$2$ 次不等式

問題≪$2$ 次不等式の文章題≫

 $1$ 辺が $10$ の正方形の周りに, 外周が正方形で幅が一定値 $x$ の外枠を取り付ける. 外枠の面積 $S$ が正方形の面積 $100$ 以下であるとき, $x$ の取りうる値の範囲を求めよ.

解答例

 外枠は $1$ 辺が $x$ の正方形 $4$ 個と隣り合う $2$ 辺が $x,$ $10$ の長方形 $4$ 個とに分けられる. よって, その面積は \[ S = 4x^2+4\cdot 10x \leqq 100\] だから, \[ x^2+10x-25 \leqq 0.\] $x^2+10x-25 = 0$ の解は, \[ x = -5\pm\sqrt{5^2-(-25)} = -5\pm 5\sqrt 2.\] よって, $x > 0$ に注意すると, \[ 0 < x \leqq 5\sqrt 2-5.\]

問題≪$2$ 次有理関数の値域≫

 実数全体を定義域とする関数 $f(x) = \dfrac{4(x-1)}{x^2-2x+2}$ の値域を求めよ.

解答例

\[ y = \dfrac{4(x-1)}{x^2-2x+2} \quad \cdots [1]\] とおく. \[ x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 \geqq 1\] より, $x^2-2x+2 \neq 0$ であることに注意する.
(i)
$y \neq 0$ のとき. $y(x^2-2x+2) = 4(x-1)$ より, \[ yx^2-2(y+2)x+(2y+4) = 0 \quad \cdots [2].\] $x$ は実数係数 $2$ 次方程式 $[2]$ の実数解だから, $[2]$ の判別式を $D$ とおくと, \[\dfrac{D}{4} = (y+2)^2-y(2y+4) \geqq 0.\] 整理すると, $-y^2+4 \geqq 0$ となり, $(y+2)(y-2) \leqq 0$ となるから, \[ -2 \leqq y \leqq 2 \quad \cdots [3].\]
(ii)
$y = 0$ は $[3]$ に含まれる.
ゆえに, 関数 $y = f(x)$ の値域は, $-2 \leqq y \leqq 2.$

$2$ 次不等式が常に成り立つ条件

問題≪$2$ 変数 $2$ 次不等式が常に成り立つ条件≫

 $a$ を $0$ でない定数とする. 任意の実数 $x,$ $y$ に対して不等式 \[ ax^2+4axy+(a+3)y^2 \geqq 0 \quad \cdots [1]\] が成り立つとき, $a$ の取り得る値の範囲を求めよ.

解答例

 与えられた実数 $y$ に対して, $x$ の $2$ 次関数 \[ ax^2+(4ay)x+(a+3)y^2\] の判別式を $D$ とおくと, 任意の実数 $x$ に対して $[1]$ が成り立つことは \[ a > 0, \quad \frac{D}{4} = (2ay)^2-a(a+3)y^2 \leqq 0\] すなわち \[ a > 0, \quad a(a-1)y^2 \geqq 0\] と同値である.
$y^2 \geqq 0$ は常に成り立つから, 任意の実数 $x,$ $y$ に対して $[1]$ が成り立つとき, \[ a > 0, \quad a(a-1) \geqq 0\] より, \[ a \geqq 1.\]