COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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多項式関数の最大・最小

多項式関数の極値

問題≪$3$ 次関数のグラフの対称性≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ $(a \neq 0)$を実数とする. $3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とそのグラフ $C:y = f(x)$ 上の点 $\mathrm M\left( -\dfrac{b}{3a},f\left( -\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ について, 次のことを示せ.
(1)
$C$ は点 $\mathrm M$ に関して対称である.
(2)
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大値, $x = \beta$ で極小値をとるとき, $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,f(\alpha )),$ $\mathrm B(\beta,f(\beta ))$ を結ぶ線分の中点は $\mathrm M$ に一致する.

解答例

 $p = -\dfrac{b}{3a},$ $q = f(p)$ とおく.
(1)
このとき, $C$ を $x$ 軸方向に $-p,$ $y$ 軸方向に $-q$ だけ平行移動した曲線 $C_0$ の方程式は, \[ y+q = f(x+p)\] つまり \begin{align*} y &= f(x+p)-q \\ &= a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d-q \\ &= ax^3+(3ap+b)x^2+(3ap^2+2bp+c)x \\ &\qquad +(ap^3+bp^2+cp+d)-q \\ &= ax^3+(3ap^2+2bp+c)x \end{align*} である. 右辺は $x$ の奇関数であるから, $C_0$ は原点に関して対称である. $C$ は, $C_0$ を $x$ 軸方向に $p,$ $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線であるから, 点 $\mathrm M(p,q)$ に関して対称である.
(2)
平行移動しても線分とその中点の関係は変わらないから, $\mathrm M = \mathrm O$ の場合に \[\frac{\alpha +\beta}{2} = 0\ \cdots [1], \quad \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} = 0\ \cdots [2]\] を示せば十分である. このとき, $p = 0,$ $q = f(p) = f(0) = 0$ から, $b = d = 0$ であり, \[ f(x) = ax^3+cx, \quad f'(x) = 3ax^2+c\] である. $\alpha,$ $\beta$ は $f'(x) = 0$ の解であるから, 解と係数の関係により, \[\alpha +\beta = 0\] が成り立ち, $[1]$ が従う. さらに, \begin{align*} \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} &= \frac{a\alpha ^3+c\alpha +a\beta ^3+c\beta}{2} \\ &= \frac{a(\alpha ^3+\beta ^3)+c(\alpha +\beta )}{2} \\ &= \frac{a(\alpha\!+\!\beta )(\alpha ^2\!+\!\alpha\beta\!+\!\beta ^2)\!+\!c(\alpha\!+\!\beta )}{2} \\ &= 0 \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ. 以上から, 線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $\mathrm M$ に一致する.

多項式関数の最大・最小

定理≪多項式関数の最大・最小≫

 閉区間 $a \leqq x \leqq b$ において, 多項式関数 $f(x)$ は必ず最大値, 最小値をもつ. $a \leqq x \leqq b$ における $f(x)$ の最大値, 最小値は, $f(x)$ の極値, $f(a),$ $f(b)$ のいずれかである.
 開区間における関数の最大値, 最小値を求める場合にも, 増減を調べることが重要である(最大値, 最小値をもたないこともある).

問題≪三角形の等周問題≫

 周の長さが $1$ である三角形のうち, 面積が最大となる三角形は正三角形であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.