COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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多項式関数の最大・最小

多項式関数の極値

問題≪$3$ 次関数のグラフの対称性≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ $(a \neq 0)$を実数とする. $3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とそのグラフ $C:y = f(x)$ 上の点 $\mathrm M\left( -\dfrac{b}{3a},f\left( -\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ について, 次のことを示せ.
(1)
$C$ は点 $\mathrm M$ に関して対称である.
(2)
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大値, $x = \beta$ で極小値をとるとき, $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,f(\alpha )),$ $\mathrm B(\beta,f(\beta ))$ を結ぶ線分の中点は $\mathrm M$ に一致する.

解答例

 $p = -\dfrac{b}{3a},$ $q = f(p)$ とおく.
(1)
このとき, $C$ を $x$ 軸方向に $-p,$ $y$ 軸方向に $-q$ だけ平行移動した曲線 $C_0$ の方程式は, \[ y+q = f(x+p)\] つまり \begin{align*} y &= f(x+p)-q \\ &= a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d-q \\ &= ax^3+(3ap+b)x^2+(3ap^2+2bp+c)x \\ &\qquad +(ap^3+bp^2+cp+d)-q \\ &= ax^3+(3ap^2+2bp+c)x \end{align*} である. 右辺は $x$ の奇関数であるから, $C_0$ は原点に関して対称である. $C$ は, $C_0$ を $x$ 軸方向に $p,$ $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線であるから, 点 $\mathrm M(p,q)$ に関して対称である.
(2)
平行移動しても線分とその中点の関係は変わらないから, $\mathrm M = \mathrm O$ の場合に \[\frac{\alpha +\beta}{2} = 0\ \cdots [1], \quad \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} = 0\ \cdots [2]\] を示せば十分である. このとき, $p = 0,$ $q = f(p) = f(0) = 0$ から, $b = d = 0$ であり, \[ f(x) = ax^3+cx, \quad f'(x) = 3ax^2+c\] である. $\alpha,$ $\beta$ は $f'(x) = 0$ の解であるから, 解と係数の関係により, \[\alpha +\beta = 0\] が成り立ち, $[1]$ が従う. さらに, \begin{align*} \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} &= \frac{a\alpha ^3+c\alpha +a\beta ^3+c\beta}{2} \\ &= \frac{a(\alpha ^3+\beta ^3)+c(\alpha +\beta )}{2} \\ &= \frac{a(\alpha\!+\!\beta )(\alpha ^2\!+\!\alpha\beta\!+\!\beta ^2)\!+\!c(\alpha\!+\!\beta )}{2} \\ &= 0 \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ. 以上から, 線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $\mathrm M$ に一致する.

多項式関数の最大・最小

定理≪多項式関数の最大・最小≫

 閉区間 $a \leqq x \leqq b$ において, 多項式関数 $f(x)$ は必ず最大値, 最小値をもつ. $a \leqq x \leqq b$ における $f(x)$ の最大値, 最小値は, $f(x)$ の極値, $f(a),$ $f(b)$ のいずれかである.
 開区間における関数の最大値, 最小値を求める場合にも, 増減を調べることが重要である(最大値, 最小値をもたないこともある).

問題≪三角形の等周問題≫

 周の長さが $1$ である三角形のうち, 面積が最大となる三角形は正三角形であることを示せ.

解答例

 $x$ を $0 < x < 1$ なる定数とする. 周の長さが $1,$ 底辺の長さが $x$ である三角形のうち, 面積が最大となるのは, 高さが最大となる二等辺三角形である. このような三角形について, 等辺の長さは $\dfrac{1-x}{2}$ であるから, 面積を $S(x)$ とおくと, \[ S(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{\left(\frac{1-x}{2}\right)^2-\left(\frac{x}{2}\right) ^2} = \frac{1}{4}x\sqrt{1-2x}\] となり, \[ 16S(x)^2 = x^2(1-2x)\] となる. 右辺を $x$ の関数として, $f(x)$ とおく. このとき, $f(x) = x^2-2x^3$ から, \[ f'(x) = 2x-6x^2 = 2x(1-3x)\] となり, \[ f'(x) \geqq 0 \iff x \leqq \frac{1}{3}\] となるので, $f(x)$ は $x = \dfrac{1}{3}$ のとき極大かつ最大の値をとる. よって, $S(x)$ は $x = \dfrac{1}{3}$ のとき最大値をとる. これで, 題意が示された.

別解

 $3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c$ である三角形の周の長さが $1$ であるとする. このとき, 三角形の面積を $S$ とおくと, ヘロンの公式により \[ S = \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-a\right)\left(\frac{1}{2}-b\right)\left(\frac{1}{2}-c\right)}\] となるから, \begin{align*} 16S^2 &= (1-2a)(1-2b)(1-2c) \\ &\leqq \left\{\frac{(1-2a)+(1-2b)+(1-2c)}{3}\right\} ^3 \\ &= \left\{\frac{3-2(a+b+c)}{3}\right\} ^3 = \left(\frac{3-2}{3}\right) ^3 = \frac{1}{27} \end{align*} となる. 不等号は相加・相乗平均の不等式により, 等号は $1-2a = 1-2b = 1-2c$ つまり $a = b = c$ のときに成り立つ. これで, 題意が示された.

背景

  • 周の長さが一定の図形の面積の最大値を求める問題は,「等周問題」(isoperimetric problem)と呼ばれる.
  • 一般に, 周の長さが一定の $n$ 角形で面積が最大となるものは正 $n$ 角形であることが知られている.
  • また, 周の長さが一定の「閉曲線」(両端の一致したつながった曲線)で面積が最大となるものは円であることが知られている.