COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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実数

理論

 $\mathbb Z$ を整数全体, $\mathbb Q$ を実数全体, $\mathbb R$ を実数全体とする.

実数列の極限

定義≪実数列の極限≫

 $(a_n)$ を実数列, $\alpha$ を実数とする.
(1)
任意の $\varepsilon > 0$ に対し, ある整数 $n_0 > 0$ について \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow |a_n-\alpha | < \varepsilon \] が成り立つとき, $(a_n)$ は $\alpha$ に収束する(converge)といい, $a_n \to \alpha\ (n \to \infty )$ と表す. $\alpha$ を $(a_n)$ の極限値(limit)と呼び, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ で表す.
(2)
$(a_n)$ がある実数に収束するとき, $(a_n)$ は収束するという. 収束しない数列は発散する(diverge)という.
(3)
任意の実数 $G$ に対し, ある整数 $n_0 > 0$ について \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow a_n \gtrless G\] が成り立つとき, $(a_n)$ は $\pm\infty$ に発散するといい, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \pm\infty$ と表す.

定理≪数列の和・差・積・商の極限≫

 実数列 $(a_n),$ $(b_n)$ が収束するとき, $(a_n\pm b_n),$ $(a_nb_n),$ $\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)$ $(b_n \neq 0)$も収束して,
(1)
$\lim\limits_{n \to \infty}(a_n\pm b_n) = \lim\limits_{n \to \infty}a_n\pm\lim\limits_{n \to \infty}b_n,$ 
(2)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right)\left(\lim\limits_{n \to \infty}b_n\right),$ 
(3)
$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}$ 
が成り立つ.

証明

 $\alpha = \lim\limits_{n \to \infty}a_n,$ $\beta = \lim\limits_{n \to \infty}b_n$ とおく.
(1)
$\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow |a_n-\alpha | < \frac{\varepsilon}{2}, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow |b_n-\beta | < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \begin{align*} |(a_n\pm b_n)-(\alpha\pm\beta )| &\leqq |a_n-\alpha |+|b_n-\beta | \\ &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (1) が成り立つことを示している.
(2)
$\varepsilon$ を正の数とする. 収束列 $(b_n)$ は有界であるから, ある正の数 $M$ に対して $|b_n| \leqq M$ となる. 必要ならば $M$ を $|\alpha |$ に取り換えることにより $|\alpha | \leqq M$ であるとしてよい. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow |a_n-\alpha | < \frac{\varepsilon}{2M}, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow |b_n-\beta | < \frac{\varepsilon}{2M} \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \begin{align*} |a_nb_n-\alpha\beta | &= |a_nb_n-\alpha b_n+\alpha b_n-\alpha\beta | \\ &= |(a_n-\alpha )b_n+\alpha (b_n-\beta )| \\ &\leqq |a_n-\alpha ||b_n|+|\alpha ||b_n-\beta | \\ &< \frac{\varepsilon}{2M}\cdot M+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} \\ &= \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (2) が成り立つことを示している.
(3)
\[\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{b_n} = \dfrac{1}{\beta} \quad \cdots (3)'\] を示せば, (2) から (3) が示される. $\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow |\beta -b_n| < \frac{|\beta |^2\varepsilon}{2} \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow |\beta |-|b_n| \leqq |\beta -b_n| < \frac{|\beta |}{2} \end{align*} となる. $n \geqq n_2$ のとき, $|b_n| > \dfrac{|\beta |}{2}$ となるから, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \begin{align*} \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| &= \frac{|\beta -b_n|}{|b_n||\beta |} \\ &< \frac{|\beta |^2\varepsilon}{2}\cdot\frac{2}{|\beta |}\cdot\frac{1}{|\beta |} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (3)' が成り立つことを意味している.

定義≪数列の有界性≫

(1)
実数列 $(a_n)$ がある実数 $b$ に対して, $a_n \leqq b$ を満たすとき $(a_n)$ は上に有界(bounded above)であるといい, $a_n \geqq b$ を満たすとき $(a_n)$ は下に有界(bounded below)であるという.
(2)
実数列 $(a_n)$ が上に有界かつ下に有界であるとき $(a_n)$ は有界(bounded)であるという.

定理≪有界な単調数列の極限≫

 任意の実数列 $(a_n)$ に対して,
(1)
$(a_n)$ が収束する $\Longrightarrow$ $(a_n)$ は有界である.
(2)
$(a_n)$ が上に有界で単調増加である $\Longrightarrow$ $(a_n)$ は収束する.
(2)'
$(a_n)$ が下に有界で単調減少である $\Longrightarrow$ $(a_n)$ は収束する.

定理≪発散列の和・積の極限≫

 実数列 $(a_n),$ $(b_n)$ について,
(1)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \pm\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n+b_n) = \pm\infty,$
(2)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \pm\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = \infty,$
(2)'
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \infty,$ $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = -\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = -\infty$
が成り立つ.

証明

(1)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \pm\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow a_n \gtrless G, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow b_n \gtrless 0 \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \[ a_n+b_n \gtrless G+0 = G\] となる. これは (1) が成り立つことを示している.
(2)
(i)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow a_n > |G|, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow b_n > 1 \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \[ a_nb_n > |G|\cdot 1 = |G| \geqq G\] となる. これは $\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = \infty$ であることを示している.
(ii)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = -\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow a_n < -|G|, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow b_n < -1 \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \[ a_nb_n > (-|G|)(-1) = |G| \geqq G\] となる. これは $\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = \infty$ であることを示している.
(2)'
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \infty,$ $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = -\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の整数 $n_1,$ $n_2$ に対して \begin{align*} n \geqq n_1 &\Longrightarrow a_n > |G|, \\ n \geqq n_2 &\Longrightarrow b_n < -1 \end{align*} となる. そこで, $n_0 = \max\{ n_1,n_2\}$ とおくと, $n \geqq n_0$ のとき, \[ a_nb_n < |G|(-1) = -|G| \leqq G\] となる. これは $\lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n = -\infty$ であることを示している.

定理≪逆数の数列の収束と発散≫

 実数列 $(a_n)$ について,
(1)
$a_n > 0,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{a_n} = \infty,$
(2)
$a_n \neq 0,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \pm\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{a_n} = 0$
が成り立つ.

証明

(1)
$a_n > 0,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の整数 $n_0$ に対して \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow |a_n| < \frac{1}{|G|+1}\] となるから, $n \geqq n_0$ のとき, \[\frac{1}{a_n} = \frac{1}{|a_n|} > |G|+1 > G\] となる. これは, $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{a_n} = \infty$ であることを示している.
(2)
$a_n \neq 0,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \pm\infty$ であるとする. $\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の整数 $n_0$ に対して \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow a_n \gtrless \pm\frac{1}{\varepsilon}\] となるから, $n \geqq n_0$ のとき, \[\left|\frac{1}{a_n}\right| = \frac{1}{|a_n|} < \varepsilon\] となる. これは, $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{a_n} = 0$ であることを示している.

位相

定義≪近傍≫

 $a \in \mathbb R$ とする. 集合 $U \subset \mathbb R$ がある正の数 $\varepsilon$ に対して $(a-\varepsilon,\ a+\varepsilon ) \subset U$ を満たすとき, $U$ を $a$ の近傍(neighborhood)と呼ぶ.

定義≪内点・内部・開集合≫

 $a \in \mathbb R,$ $S \subset \mathbb R$ とする.
(1)
$a$ のある近傍 $U$ が $U \subset S$ を満たすとき, $a$ を $S$ の内点(inner point, interior point)と呼ぶ. $S$ の内点全体を $S$ の内部(interior)または開核(open kernel)と呼び, $S^\circ$ または $S^i$ で表す. $S^\circ = S$ のとき, $S$ は開集合(open set)であるという.
(2)
$a$ のある近傍 $U$ が $U \subset \mathbb R\setminus S$ を満たすとき, $a$ を $S$ の外点(exterior point)と呼ぶ. $S$ の外点全体を $S$ の外部(exterior)と呼ぶ.
(3)
$a$ が $S$ の内点でも外点でもないとき, すなわち $a$ の任意の近傍 $U$ が $U\cap S \neq \varnothing,$ $U\cap (\mathbb R\setminus S) \neq \varnothing$ を満たすとき, $a$ を $S$ の境界点(boundary point, frontier point)と呼ぶ. $S$ の境界点全体を $S$ の境界(boundary, frontier)と呼び, $\partial S$ で表す.

定義≪触点・閉包・閉集合≫

 $a \in \mathbb R,$ $S \subset \mathbb R$ とする.
(1)
$a$ の任意の近傍 $U$ が $U\cap S \neq \varnothing$ を満たすとき, $a$ を $S$ の触点または接触点(adherent point)と呼ぶ. $S$ の触点全体を $S$ の閉包(closure)と呼び, $\bar S$ で表す. $\bar S = S$ のとき, $S$ は閉集合(closed set)であるという. $S \subset T \subset \mathbb R,$ $\bar S = T$ であるとき, $S$ は $T$ において稠密(dense)であるという.
(2)
$a$ が $S\cap (\mathbb R\setminus\{ a\})$ の触点であるとき, すなわち $a$ の任意の近傍 $U$ が $a$ 以外の点を含むとき, $a$ を $S$ の集積点(accumulation point, cluster point)と呼ぶ. $S$ の集積点全体を $S^d$ で表す.
(3)
$a \in S$ とする. $a$ が $S$ の集積点でないとき, すなわち $a$ のある近傍 $U$ が $U\cap S = \{ a\}$ を満たすとき, $a$ を $S$ の孤立点(isolated point)と呼ぶ. $S$ が孤立点のみから成るとき, $S$ は離散的(discrete)であるという.
 明らかに $\bar S\setminus S \subset S^d$ だから, $S = S\cup S^d.$ よって, $S$ が集積点を持たないならば, $S$ は閉集合である. ただし, $S\cap S^d = \varnothing$ であるとは限らないので, この逆は必ずしも成り立たない. 例えば, $\mathbb R$ は閉集合であるが, $0$ は $\mathbb R$ の集積点である.

閉包

命題≪閉包の最小性≫

 任意の集合 $S \subset \mathbb R$ に対して, $\bar S$ は $S$ を含む最小の閉集合である.

命題≪数列の極限による閉包の特徴付け≫

 任意の実数 $a,$ 集合 $S \subset \mathbb R$ に対して,
(1)
$a \in \bar S$ $\iff$ $a$ に収束する数列 $(a_n)$ で各項が $S$ に属するものが存在する.
(2)
$a \in S^d$ $\iff$ $a$ に収束する数列 $(a_n)$ で各項が $S\cap (\mathbb R\setminus\{ a\})$ に属するものが存在する.

証明

(1)
$(\Rightarrow )$
$a \in \bar S$ とする. 触点の定義より, 各整数 $n > 0$ に対して $a_n \in (a-n^{-1},\ a+n^{-1})\cap S$ を満たす実数 $a_n$ が存在する. 数列 $(a_n)$ は $a_n \in S\ (n > 0)$ を満たし, さらに \[ |a-a_n| < n^{-1}\] を満たすから, はさみうちの原理より, $\lim\limits_{n \to \infty}(a-a_n) = 0$ すなわち $a = \lim\limits_{n\to\infty}a_n.$
$(\Leftarrow)$
$a = \lim\limits_{n \to \infty}a_n,$ $a_n \in S\ (n > 0)$ とする. $a$ の任意の近傍 $U$ はある $\varepsilon > 0$ について $(a-\varepsilon,\ a+\varepsilon )$ の形の近傍を含む. 数列の収束の定義より, ある整数 $N > 0$ に対して \[ n \geqq N \Longrightarrow |a_n-a| <\varepsilon\] となるから, 特に $|a_N-a| < \varepsilon$ すなわち $a_N \in (a-\varepsilon,\ a+\varepsilon )$ となる. よって, $U \cap S \neq \varnothing.$
(2)
(1) と集積点の定義より従う.

例≪閉包≫

 $S = \{\left.n^{-1}\right| n \in \mathbb Z,\ n > 0\}$ とする.
(0)
任意の集合 $S \subset \mathbb R$ に対して, 任意の $a \in S$ は定数列 $\{ a\}$ の極限値として表せるから, $S \subset \bar S.$
(1)
$0 = \lim\limits_{n \to \infty}2^{-n}$ より $0 \in \bar S.$
(2)
$-2$ は $S$ と共通部分を持たない近傍 $(-3,\ -1)$ を持つから, $-2 \notin \bar S.$

有理数の稠密性

命題≪有理数の稠密性≫

 $\mathbb Q$ は $\mathbb R$ において稠密である. すなわち, $\bar{\mathbb Q} = \mathbb R.$
 定義に戻ると, これは各実数 $a$ の任意の近傍は有理数を含むことと同値である. つまり, これは各実数のいくらでも近くに有理数が存在することを意味する.

証明

 任意の実数 $a$ が有理数列の極限として表されることを示せば良い. $a$ の十進法による表示が \[ a = c+\sum\limits_{n = 0}^\infty c_n10^{-n} \quad (c,\ c_n \in \mathbb Z,\ 0 \leq c_n \leq 9)\] であるとき, \[ a_n = c+\sum\limits_{i = 1}^nc_i10^{-i}\] とおくと, \[ a = \lim\limits_{n\to\infty}a_n\] と表せるから, $a \in \bar{\mathbb Q}.$

問題

実数列の極限

問題≪数列の極限と不等式≫

 $(a_n),$ $(b_n),$ $(c_n)$ を任意の実数列とする.
(1)
$a_n \leqq b_n,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n,$ $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = \beta$ $\Longrightarrow$ $\alpha \leqq \beta$ が成り立つことを示せ.
(2)
挟みうちの原理: $a_n \leqq c_n \leqq b_n,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \gamma$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}c_n = \gamma$ が成り立つことを示せ.

解答例

 後日公開.

問題≪偶数番目と奇数番目の極限≫

 数列 $\{ a_n\}$ が $\alpha$ に収束するためには, $\{ a_{2n}\},$ $\{ a_{2n-1}\}$ が $\alpha$ に収束することが必要十分であることを示せ.

解答例

 後日公開.

問題≪平均の連立漸化式で定まる数列の極限≫

\[ a_{n+1} = \frac{b_n+c_n}{2}, \quad b_{n+1} = \frac{c_n+a_n}{2}, \quad c_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}\] で定まる数列 $(a_n)_{n \geqq 0},$ $(b_n)_{n \geqq 0},$ $(c_n)_{n \geqq 0}$ の極限を求めよ.

解答例

 与式より, \begin{align*} a_n+b_n+c_n &= a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1} = \cdots \\ &= a_0+b_0+c_0 \quad \cdots [0]. \end{align*} また, \begin{align*} a_n-b_n &= -\frac{1}{2}(a_{n-1}-b_{n-1}) = \cdots \\ &= \left( -\frac{1}{2}\right) ^n(a_0-b_0) \quad \cdots [1]. \end{align*} 同様に, \begin{align*} b_n-c_n &= \left( -\frac{1}{2}\right) ^n(b_0-c_0) \quad \cdots [2], \\ c_n-a_n &= \left( -\frac{1}{2}\right) ^n(c_0-a_0) \quad \cdots [3]. \end{align*} $[1]-[3]$ より, \[ 2a_n-b_n-c_n = \left( -\frac{1}{2}\right) ^n(2a_0-b_0-c_0) \quad \cdots [4].\] $[0]+[4]$ より, \begin{align*} 3a_n &= a_0+b_0+c_0+\left( -\frac{1}{2}\right) ^n(2a_0-b_0-c_0) \\ &\to a_0+b_0+c_0 \quad (n \to \infty ). \end{align*} ゆえに, \[\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \frac{a_0+b_0+c_0}{3}.\] 同様に, \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}b_n = \lim\limits_{n \to \infty}c_n = \frac{a_0+b_0+c_0}{3}. \end{align*}

問題≪$1/n$ の極限≫

 Archimedes の公理を用いて $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n} = 0$ を示せ.

解答例

 後日公開.

問題≪$n$ 乗根の極限≫

 任意の正の数 $a$ に対して $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1$ が成り立つことを示せ.

解答例

(i)
$a > 1$ のとき. \[\sqrt[n]{a} = 1+e_n \quad (e_n > 0)\] とおくと, \[ a = (1+e_n)^n = \sum\limits_{i = 0}^n\binom{n}{i}x_n{}^{n-i} > ne_n\] より \[ 0 < e_n < \frac{a}{n}\] となるから, \[\lim\limits_{n \to \infty}e_n = 0.\] ゆえに, \[ \lim\limits_{n \to \infty}a_n = 1.\]
(ii)
$a = 1$ のとき. 各整数 $n > 0$ に対して $\sqrt[n]{a} = 1$ だから, \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1.\]
(iii)
$0 < a < 1$ のとき. (i) より, \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a^{-1}}} = \frac{1}{1} = 1.\]

問題≪平均の極限≫

 任意の実数列 $(a_n)_{n \geqq 1},$ 実数 $\alpha$ に対して, 次が成り立つことを示せ.
(1)
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \alpha$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_1+\cdots +a_n}{n} = \alpha.$
(2)
$a_n > 0,$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \alpha$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\dots a_n} = \alpha.$

解答例

(1)
$a_n = \alpha +e_n$ とおくと, \[\frac{a_1+\cdots +a_n}{n} = \alpha +\frac{e_1+\cdots +e_n}{n}\] となるから, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{e_1+\cdots +e_n}{n} = 0 \quad \cdots [1]\] を示せば良い. 正の数 $\varepsilon$ を任意にとる. \[\lim\limits_{n \to \infty}e_n = 0\] より, ある整数 $n_1 > 0$ に対して \[ n > n_1 \Longrightarrow |e_n| < \frac{\varepsilon}{2}\] となる. $e = \max\{ |e_1|,\ \dots,\ |e_{n_1}|\}$ とおくと, $n > n_1$ のとき, \begin{align*} &\left|\frac{e_1+\cdots +e_n}{n}\right| \leqq \frac{|e_1|+\cdots +|e_n|}{n} \\ &= \frac{|e_1|+\cdots +|e_{n_1}|}{n}+\frac{|e_{n_1+1}|+\cdots +|e_n|}{n} \\ &\leqq \frac{n_1e}{n}+\frac{n-n_1}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2} \\ &< \frac{n_1e}{n}+\frac{\varepsilon}{2}. \end{align*} さらに, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n_1e}{n} = 0\] より, ある整数 $n_2 > 0$ に対して \[ n > n_2 \Longrightarrow \frac{n_1e}{n} < \frac{\varepsilon}{2}\] となる. よって, $n > \max\{ n_1,\ n_2\}$ のとき, \[\left|\frac{e_1+\cdots +e_n}{n}\right| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\] $\varepsilon$ は任意だから, $[1]$ が成り立つ.
(2)
(i)
$\alpha \neq 0$ のとき. 対数関数の連続性より \[\lim\limits_{n \to \infty}\log a_n = \log\alpha\] だから, (1) より \begin{align*} \log (\sqrt[n]{a_1\dots a_n}) &= \frac{\log a_1+\cdots +\log a_n}{n} \\ &\to \log\alpha \quad (n \to \infty ). \end{align*} よって, 対数関数の連続性より \[\log\left(\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\right) = \log\alpha\] だから, \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\dots a_n} = \alpha.\]
(ii)
$\alpha = 0$ のとき. $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\dots a_n} = 0$ を示すためには, 与えられた正の数 $\varepsilon$ に対して \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\dots a_n} < \varepsilon\] が成り立つことを示せば良い. $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$ より, ある正の整数 $n_0 > 0$ に対して \[ n > n_0 \Longrightarrow a_n < \varepsilon\] となる. $n > n_0$ のとき, \begin{align*} &\sqrt[n]{a_1\dots a_n} = \sqrt[n]{a_1\dots a_{n_0}}\sqrt[n]{a_{n_0+1}\dots a_n} \\ &< \sqrt[n]{a_1\dots a_{n_0}}(\varepsilon ^{n-n_0})^{\frac{1}{n}} \\ &< \sqrt[n]{a_1}\dots\sqrt[n]{a_{n_0}}\varepsilon ^{1-\frac{n_0}{n}} \\ &\to 1\cdots 1\varepsilon ^{1-0} = \varepsilon \quad (n \to \infty ). \end{align*} 最後の極限の計算で前問の結果を用いた.

注意

 (1) の逆は成り立たない. 例えば, 数列 $\big( (-1)^n\big) _{n \geqq 1}$ は振動するが, $n$ が偶数のとき \[\dfrac{(-1)^1+\cdots +(-1)^n}{n} = 0,\] $n$ が奇数のとき \[\dfrac{(-1)^1+\cdots +(-1)^n}{n} = \frac{-1}{n} \to 0 \quad (n \to \infty )\] だから, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(-1)^1+\cdots +(-1)^n}{n} = 0.\]

問題≪畳み込みの平均の極限≫

 任意の収束列 $(a_n),$ $(b_n)$ に対して, 次が成り立つことを示せ. \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1b_n+\cdots +a_nb_1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n\]

解答例

 $\alpha = \lim\limits_{n \to \infty}a_n,$ $\beta = \lim\limits_{n \to \infty}b_n$ とおく. \[\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^na_kb_{n-k+1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n(a_k-\alpha )b_{n-k+1}+\alpha\cdot\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^nb_k\] であり, 前問の結果より \[\lim\limits_{n \to \infty}\alpha\cdot\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^nb_k = \alpha\beta = \lim\limits_{n \to \infty}a_nb_n\] だから, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n(a_k-\alpha )b_{n-k+1} = 0\] を示せば良い. そのためには各 $\varepsilon > 0$ に対して \[\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n(a_k-\alpha )b_{n-k+1}\right| < \varepsilon\] となることを示せば良い. $(a_n),$ $(b_n)$ は収束列だから, $|a_n| < a,$ $|b_n| < b$ を満たす実数 $a,$ $b$ が存在する. $c = \max\{ a,\ b\}$ とおくと, \[ |a_n| < c, \quad |b_n| < c\] となる. \[ n > n_0 \Longrightarrow |a_n-\alpha | < \frac{\varepsilon}{c}\] となる. $d = \max\limits_{1 \leqq k \leqq n_0} |a_k-\alpha |$ とおくと, $n > n_0$ のとき, \begin{align*} &\left|\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n(a_k-\alpha )b_{n-k+1}\right| \\ &\leqq \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{n_0}|a_k-\alpha ||b_{n-k+1}|+\frac{1}{n}\sum\limits_{k = n_0+1}^n|a_k-\alpha ||b_{n-k+1}| \\ &< \frac{n_0dc}{n}+\frac{n-n_0}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{c}\cdot c \\ &< \frac{n_0dc}{n}+\varepsilon \to \varepsilon \quad (n \to \infty ) \end{align*} となるから, 求める等式が得られた.

問題≪数列の極限による Napier 数の定義≫

 次の極限値が存在することを示せ. \[\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n.\]

解答例

 $a_n = \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n$ とおく. 数列 $(a_n)$ が上に有界な単調増加列であることを示せば良い.
  • 二項定理により, \begin{align*} a_n &= \sum\limits_{k = 0}^n\frac{1}{k!}\prod\limits_{j = 1}^k(n-j+1)\frac{1}{n^k} \\ &= \sum\limits_{k = 0}^n\frac{1}{k!}\prod\limits_{j = 1}^k\left( 1-\frac{j-1}{n}\right) \quad \cdots [1] \\ &\leqq \sum\limits_{k = 0}^n\frac{1}{k!} \\ &\leqq 1+\sum\limits_{k = 1}^n\frac{1}{2^{k-1}} = 1+\frac{1-\dfrac{1}{2^n}}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &< 1+\frac{1}{1-\dfrac{1}{2}} = 3 \end{align*} だから, $(a_n)$ は上に有界である.
  • $\dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n+1}$ より $-\dfrac{1}{n} < -\dfrac{1}{n+1}$ であることに注意すると, $[1]$ より \begin{align*} a_n &= \sum\limits_{k = 0}^n\frac{1}{k!}\prod\limits_{j = 1}^k\left( 1-\frac{j-1}{n}\right) \\ &< \sum\limits_{k = 0}^{n+1}\frac{1}{k!}\prod\limits_{j = 1}^k\left( 1-\frac{j-1}{n+1}\right) = a_{n+1} \end{align*} だから, $(a_n)$ は単調増加である.

問題≪算術幾何平均≫

\[ 0 \leqq b_0 \leqq a_0, \quad a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}, \quad b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n}\] で定まる数列 $(a_n),$ $(b_n)$ は同じ値に収束することを示せ.

解答例

\[ b_0 \leqq \sqrt{a_0b_0} \leqq \frac{a_0+b_0}{2} \leqq a_0\] より, \[ b_0 \leqq b_1 \leqq a_1 \leqq a_0.\] これを繰り返すと, \[ b_0 \leqq b_1 \leqq \dots \leqq b_n \leqq \dots \leqq a_n \leqq \dots \leqq a_1 \leqq a_0.\] よって, $(a_n)$ は下に有界な単調減少数列, $(b_n)$ は上に有界な単調増加数列だから, それぞれ極限値 $\alpha,$ $\beta$ を持つ. 与式の両辺の極限をとると \[ 2\alpha = \alpha+\beta\] となるから, \[\alpha = \beta.\]

解説

 この極限値 $\alpha$ を算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)と呼ぶ. その値は次の公式で与えられることが良く知られている(Gauss): \[\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{a_0{}^2\sin ^2\theta +b_0{}^2\cos ^2\theta}}.\]

問題≪連分数の極限≫

\[ a_0 = 1, \quad a_{n+1} = 1+\frac{1}{a_n}\] で定まる数列 $(a_n)$ の極限を求めよ.

解答例

(i)
\begin{align*} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1+\frac{1}{1} = 2, \\ a_2 &= 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \\ a_3 &= 1+\frac{2}{3} = \frac{5}{3} \end{align*} より, \[ 1 = a_0 < a_2 < a_3 < a_1 = 2.\]
(ii)
$a_{2n} < a_{2n+2} < 2, \qquad a_{2n+1} > a_{2n+3} > 1$ を仮定すると, \begin{align*} &a_{2n+4} = 1+\frac{1}{a_{2n+3}} > 2 \quad \left(\because\frac{1}{a_{2n+3}} < 1\right), \\ &a_{2n+5} = 1+\frac{1}{a_{2n+4}} < 1 \quad \left(\because\frac{1}{a_{2n+4}} < 0\right), \\ &a_{2n+2}-a_{2n+4} = \frac{a_{2n+3}-a_{2n+1}}{a_{2n+1}a_{2n+3}} < 0, \\ &a_{2n+3}-a_{2n+5} = \frac{a_{2n+4}-a_{2n+2}}{a_{2n+2}a_{2n+4}} > 0 \end{align*} より \[ a_{2n+2} < a_{2n+4} < 2, \qquad a_{2n+3} > a_{2n+5} > 1\] となる.
(i), (ii) より, $(a_{2n})$ は上に有界な単調増加数列, $(a_{2n+1})$ は下に有界な単調減少数列だから, それぞれ極限値 $\alpha,$ $\beta$ を持つ. $a_n < 0$ より $\alpha,$ $\beta \geqq 0$ であることに注意する. 与式の両辺の極限をとると, \[\alpha = 1+\frac{1}{\beta} \quad \cdots [1], \qquad \beta = 1+\frac{1}{\alpha} \quad \cdots [2].\] $[2]$ を $[1]$ に代入すると, \[\alpha = 1+\dfrac{1}{1+\alpha ^{-1}}\] より \[\alpha\left( 1+\dfrac{1}{\alpha}\right) = \left( 1+\dfrac{1}{\alpha}\right) +1.\] よって, $\alpha (\alpha +1) = 2\alpha +1$ より \[\alpha ^2-\alpha -1 = 0\] となるから, \[\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2}.\] 同様に, $\beta = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}.$ ゆえに, \[\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \frac{1+\sqrt 5}{2}.\]

問題≪多重平方根の極限≫

 $c$ を正の数とする. 漸化式 \[ a_{n+1} = \sqrt{c+a_n}\] で定まる数列 $(a_n)$ の極限値を求めよ.

解答例

\[ x = \sqrt{c+x} \quad \cdots [1]\] すなわち \[ x^2 = c+x, \quad x \geqq 0\] の解 $\alpha$ は, \[ \alpha = \frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}.\]
(I)
$a_0 \leqq \alpha$ のとき.
(i)
$\alpha > \dfrac{1+\sqrt 1}{2} = 1$ に注意すると, \begin{align*} &a_1{}^2-a_0{}^2 = c+a_0-a_0{}^2 \\ &= \alpha ^2-\alpha +a_0-a_0{}^2 \\ &= (\alpha -a_0)(\alpha +a_0-1) \geqq 0 \end{align*} より, \[ a_0 \leqq a_1.\]
(ii)
$a_n \leqq \alpha,$ $a_n \leqq a_{n+1}$ を仮定すると, \begin{align*} &\sqrt{c+a_n} \leqq \sqrt{c+\alpha}, \\ &a_{n+2}{}^2-a_{n+1}{}^2 = a_{n+1}-a_n \geqq 0 \end{align*} より \[ a_{n+1} \leqq \alpha, \quad a_{n+1} \leqq a_{n+2}\] となる.
(i), (ii) より, $(a_n)$ は上に有界な単調増加数列だから極限値を持つ. これは $[1]$ を満たすから, \[\lim\limits_{n \to \infty}a_n = \frac{1+\sqrt{1+4c}}{2} \quad \cdots [2].\]
(II)
$a_0 > \alpha$ のときも同様に, \[ a_0 > a_1 > \cdots > a_n > \cdots > 0\] より, $[2]$ が成り立つ.

問題≪Euler の定数≫

 極限値 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}-\log n\right)$ が存在することを示せ.

解答例

 $a_n = \sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}-\log n$ とおくと, \[ a_n = \sum\limits_{k = 1}^n\frac{1}{k}-\int _1^n\frac{dx}{x} \geqq \sum\limits_{k = 1}^n\frac{1}{k}-\sum\limits_{k = 1}^{n-1}\frac{1}{k} = \frac{1}{n} > 0.\] さらに, \begin{align*} a_n-a_{n+1} &= \sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}-\log n-\sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}+\log (n+1) \\ &= \log\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ &= \int _n^{n+1}\frac{dx}{x}-\frac{1}{n+1} > 0 \end{align*} より, \[ a_n > a_{n+1}.\] ゆえに, $(a_n)_{n \geqq 1}$ は下に有界な単調減少数列だから収束する.

解説

 この極限値は Euler の定数と呼ばれ, よく $\gamma$ で表される. \begin{align*} &\log (n+1)-\log n = \log\frac{n+1}{n} \\ &= \log\left( 1+\frac{1}{n}\right) \to \log 1 = 0 \quad (n \to \infty ), \\ &\int _1^{n+1}\frac{dx}{x} = \big[ \log x\big] _1^{n+1} \\ &= \log (n+1)-\log 1 = \log (n+1) \end{align*} より, \begin{align*} \gamma &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}-\log (n+1)\right) \\ & = \lim\limits_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{1}{k}-\int _1^{n+1}\frac{dx}{x}\right) \end{align*} のように表すこともできるので, $\gamma$ は次図の塗色部の面積に等しい.
$\gamma$ は, 調和級数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty\dfrac{1}{n}$ の発散との対比としてだけでなく, 円周率や Napier 数とともに重要な定数としてよく引き合いに出されるが, 有理数, 無理数のどちらかさえ分かっていない.