COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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正多角形

理論

正多角形の面積

命題≪正多角形の面積≫

 $1$ 辺の長さが $a$ の正 $n$ 角形の面積を $S$ とおくと, \[ S = \frac{na^2}{4\tan\dfrac{\pi}{n}}\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 II: 三角関数

問題≪正多角形の面積≫

 $1$ 辺の長さが $a$ の正 $n$ 角形について,
(1)
外接円の半径 $R$ を $a$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.
(2)
面積 $S$ を $a,$ $n$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.

解答例

(1)
正 $n$ 角形の外接円において, 正 $n$ 角形の $1$ 辺に対する中心角は $\dfrac{2\pi}{n}$ であるから, 円周角の定理により, その弧に対する円周角は $\dfrac{\pi}{n}$ である. よって, 正 $n$ 角形の $1$ 辺の長さが $a$ であるとき, 正弦定理により, その外接円の半径 $R$ は \[ R = \frac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}}\] と表される.
(2)
倍角の公式により, 正 $n$ 角形の面積 $S$ は \begin{align*} S &= n\cdot\frac{1}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n} \\ &= n\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2}{4\sin ^2\dfrac{\pi}{n}}\cdot 2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} \\ &= \frac{na^2\cos\dfrac{\pi}{n}}{4\sin\dfrac{\pi}{n}} = \frac{na^2}{4\tan\dfrac{\pi}{n}} \end{align*} と表される.