COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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正多面体

理論

正多面体

定理≪正多面体の種類≫

 正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限る.

証明

 $1$ つの頂点に $m$ 個の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体の存在を仮定する. 正多面体は凸多面体であり, 凸多面体の $1$ つの頂点に集まる角度の和は $360^\circ$ 未満である. 正 $n$ 角形の内角の大きさは $\dfrac{180(n-2)^\circ}{n}$ であるから, \[\frac{180(n-2)m}{n} < 360\] が成り立つ. 整理すると $(m-2)n < 2n$ となり, $mn-2m-2n < 0$ から \[ (m-2)(n-2) < 4\] となる. $m \geqq 3,$ $n \geqq 3$ に注意すると, \[ (m-2,n-2) = (1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,1),\ (3,1)\] から \[ (m,n) = (3,3),\ (3,4),\ (3,5),\ (4,3),\ (5,3)\] となる. この条件を満たす正多面体は, それぞれ正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体である.

別証明

 $1$ つの頂点に $m$ 個の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体の存在を仮定する. 頂点の個数を $v,$ 辺の個数を $e,$ 面の個数を $f$ とおく. $1$ つの辺は $2$ つの頂点を結び, $2$ つの面に接しているから, \[ mv = nf = 2e \quad \cdots [1]\] が成り立つ. また, Euler の多面体定理により, \[ v-e+f = 2 \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $[1]$ と $[2]$ から $\dfrac{2e}{m}-e+\dfrac{2e}{n} = 2$ となり, \[\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2} = \frac{1}{e}\] となる. 右辺は正であるから, 左辺も正で \[\frac{1}{m}+\frac{1}{n} > \frac{1}{2} \quad \cdots [3]\] が成り立つ. 変形すると $2m+2n > mn$ となり, \[ mn-2m-2n < 0\] となる. 以下, こちらを参照.

問題

数学 A: 整数

問題≪分数型不等式の整数解≫

\[\frac{1}{m}+\frac{1}{n} > \frac{1}{2}\] を満たす $3$ 以上の整数の組 $(m,n)$ をすべて求めよ.

解答例

 こちらを参照.