COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

剰余の定理・因数定理

剰余の定理

定理≪剰余の定理≫

 多項式 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの余りは $f(\alpha )$ である.

証明

 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $r$ とおくと, \[ f(x) = (x-\alpha )q(x)+r\] となる. このとき, $x = \alpha$ を代入すると, $f(\alpha ) = r$ となる.

問題≪虚数単位の最小多項式≫

 有理数係数多項式 $f(x)$ が $f(i) = 0$ を満たすとする. このとき, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れることを示せ. また, $x^2+1$ はこの条件を満たす次数最小の有理数係数多項式であることを示せ.

解答例

 $f(x)$ を $x^2+1$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $ax+b$ ($a,$ $b$: 有理数)とおく. このとき, 仮定から \[ 0 = f(i) = (i^2+1)q(i)+ai+b\] となるので, $i^2 = -1$ から $ai+b = 0$ となる. $a,$ $b$ は有理数であるから, $a = b = 0$ となる. よって, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れる.
 このとき, $f(x)$ はある有理数係数多項式 $q(x)$ に対して \[ f(x) = (x^2+1)q(x)\] と表せるから, $f(x)$ の次数は $2$ 以上である. ゆえに, $x^2+1$ は条件を満たす次数最小の有理数係数多項式である.

背景

 $\mathbb Q$ を有理数全体の集合, $\alpha$ を複素数とする. ある有理数係数多項式 $f(x)$ に対して $f(\alpha ) = 0$ となるとき, そのような次数最小の有理数係数多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」と呼ぶ. 一般に, $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」は $f(\alpha ) = 0$ を満たす $\mathbb Q$ 上の「既約多項式」$f(x)$ であることが知られている. 「最小多項式」の概念は, 方程式の理論の中で基本的な役割を果たす.