COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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剰余の定理・因数定理

剰余の定理

定理≪剰余の定理≫

 多項式 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの余りは $f(\alpha )$ である.

証明

 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $r$ とおくと, \[ f(x) = (x-\alpha )q(x)+r\] となる. このとき, $x = \alpha$ を代入すると, $f(\alpha ) = r$ となる.

問題≪虚数単位の最小多項式≫

 有理数係数多項式 $f(x)$ に対して, $f(i) = 0$ であるならば, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れることを示せ. また, $x^2+1$ はこの条件を満たす次数最小の有理数係数多項式であることを示せ. ただし, $0$ の次数は考えないものとする.

解答例

 $f(i) = 0$ であるとする. このとき, 因数定理により, $f(x)$ は $x-i$ で割り切れる.
また, $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^na_kx^k$ ($a_k$: 有理数)とおくと, \begin{align*} f(-i) &= \sum_{k = 0}^na_k(-i)^k = \sum_{k = 0}^na_k{\bar i}^k = \overline{\sum_{k = 0}^na_ki^k} \\ &= \overline{f(i)} = \bar 0 = 0 \end{align*} となるから, 因数定理により $f(x)$ は $x+i$ で割り切れる.
ゆえに, $f(x)$ は $(x-i)(x+i) = x^2+1$ で割り切れる.
 このとき, $f(x)$ は有理数係数多項式 $q(x)$ を用いて $f(x) = (x^2+1)q(x)$ と表せるから, $f(x)$ の次数は $2$ 以上である. ゆえに, $x^2+1$ は条件を満たす次数最小の有理数係数多項式である.

前半の別解

$f(x)$ を $x^2+1$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $ax+b$ ($a,$ $b$: 有理数)とおく. $f(i) = 0$ であるとき, \[ (i^2+1)q(i)+ai+b = 0 \quad\text{つまり}\quad ai+b = 0\] となるから, $a,$ $b$ は有理数であることから $a = b = 0$ となる. よって, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れる.

背景

 $\mathbb Q$ を有理数全体の集合, $\alpha$ を複素数とする. ある有理数係数多項式 $f(x)$ に対して $f(\alpha ) = 0$ となるとき, そのような次数最小の有理数係数多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」と呼ぶ. 一般に, $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」は $f(\alpha ) = 0$ を満たす $\mathbb Q$ 上の「既約多項式」$f(x)$ であることが知られている. 「最小多項式」の概念は, 方程式の理論の中で基本的な役割を果たす.