COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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集合

理論

素朴集合論と公理的集合論

 集合を「範囲が明確に定まった数学的対象の集まり」として説明し, 公理系を特定せずに議論を進める集合論を素朴集合論(naive set theory)と呼ぶ. 集合論の古典的な結果の多くは素朴集合論の立場からも十分に理解可能である. しかし, 次のような逆理が発見され, 数学の土台を揺さぶりかねない問題として受け取られた:

Russell の逆理(Russell's paradox):

 論理式 $X = X$ を満たす集合 $X$ 全体から成る集合, すなわち集合全体から成る集合 $\mathcal X$ が存在する.
よって, $\mathcal X$ の部分集合として, 自身を元に持たない集合全体から成る集合 $\mathcal Y$ が存在する.
仮に $\mathcal Y$ を $\mathcal Y$ の元とすると, $\mathcal Y$ の定義より $\mathcal Y$ は $\mathcal Y$ の元でなくなってしまい, 矛盾が生じる.
仮に $\mathcal Y$ が $\mathcal Y$ の元でないとすると, $\mathcal Y$ の定義より $\mathcal Y$ は $\mathcal Y$ の元となってしまい, 矛盾が生じる.
 このような問題の解消と論理的により明確な議論のため, 集合論は公理主義的な方法で再構築された. 集合は, 厳密には帰属関係(belongingness)を表す述語記号 $\in$ と等号 $=$ についてある適当な公理系を満たす対象として定義される. このように公理系を明確化して議論する集合論を公理的集合論(axiomatic set theory)と呼ぶ.

定義と公理 (ZF 集合論)

 集合論の考察の対象はすべて集合であり, 特に集合の元も何らかの集合であると考えていることに注意されたい.

定義≪集合(ZF 集合論)≫

 $2$ 変数述語記号 $\in,$ $=$ について下記の公理系を満たす対象を集合(set)と呼ぶ.
(i)
外延性公理(Axiom of extensionality): 任意の $A,$ $B$ に対して, $A = B$ $\iff$ (任意の $x$ に対して $x \in A$ $\Leftrightarrow$ $x \in B.$)
(ii)
空集合の公理(Axiom of empty set): $E$ で, 任意の $x$ に対して $x \in E$ を満たさないものが存在する.
外延性公理より一意に定まる集合 $E$ を空集合(empty set)と呼び, $\varnothing$ で表す.
(iii)
対の公理(Axiom of pairing): 任意の $a,$ $b$ に対して, $C$ で任意の $x$ に対して $x \in C$ $\iff$ ($x = a$ または $x = b$) を満たすものが存在する.
外延性公理より一意に定まる集合 $C$ を $a,$ $b$ の非順序対(non-ordered pair)と呼び, $\{ a,\ b\}$ で表す. $\{ a,\ a\}$ を $\{ a\}$ で表し, この形の集合を $1$ 元集合(singleton)と呼ぶ.
(iv)
和集合の公理(Axiom of union): 任意の $\mathcal A$ に対して, $U$ で任意の $x$ に対して $x \in U$ $\iff$ ある $A$ に対して ($A \in \mathcal A$ かつ $x \in A$) を満たすものが存在する.
外延性公理より一意に定まる集合 $U$ を $\mathcal A$ の和集合(union)と呼び, $\bigcup\mathcal A$ または $\bigcup\limits_{A\in \mathcal A}A$ で表す. 特に $\{ A,\ B\}$ の和集合を $A\cup B$ で表す.
(v)
冪集合の公理(Axiom of power set): 任意の $A$ に対して, $\mathcal P$ で任意の $S$ に対して $S \in \mathcal P$ $\iff$ (任意の $x$ に対して $x \in S$ $\Longrightarrow$ $x \in A$) を満たすものが存在する.
(vi)
無限公理(Axiom of infinity): $\varnothing$ を空集合とする. $N$ で $\varnothing \in N$ かつ(任意の $x$ に対して $x \in N$ $\Rightarrow$ $x\cup \{ x\} \in N$) を満たすものが存在する.
(vii)
分出公理(Axiom of separation): $\varphi$ を任意の論理式とする.
このとき, 任意の $A$ に対して, $B$ で任意の $x$ に対して $x \in B$ $\iff$ ($x \in A$ かつ $\varphi (x)$) を満たすものが存在する.
(viii)
置換公理(Axiom of replacement): $\varphi$ を任意の論理式とする.
$A$ が任意の $x$ に対して $x \in A$ $\Longrightarrow$ (($\varphi (x,\ y)$ かつ $\varphi (x,\ y')$) $\Rightarrow$ $y = y'$) を満たすとき, $B$ で任意の $y$ に対して $y \in B$ $\iff$ ある $x$ に対して ($x \in A$ かつ $\varphi (x,\ y)$) を満たすものが存在する.
(ix)
基礎の公理(Axiom of foundation): $\varphi$ を任意の論理式とする.
このとき, 任意の $X$ が各 $x$ に対して ($x \in X$ $\Rightarrow$ $\varphi (x)$) を満たす $\Longrightarrow$ 任意の $X$ は $\varphi (X)$ を満たす.
 以上 $9$ 個の公理から成る公理系を Zermelo, Fraenkel の名に因んで ZF と呼び, この公理系の下で展開される集合論を ZF 集合論(ZF set theory)と呼ぶ.
(1)
$x \in A$ のとき, $x$ を $A$ のまたは要素(element/member)と呼び, $A$ は $x$ を含む($A$ includes $x$), $x$ は $A$ に属する($x$ belongs to $A$/$x$ is in $A$)という. これを $A \ni x$ でも表す. 集合 $A$ の元 $x$ を $x \in A$ と呼ぶこともある.
(2)
$x \in A$ の否定を $x \notin A$ または $A \not\ni x$ で表す.
(3)
$A = B$ のとき, $A,$ $B$ は等しい(equal)という.
(4)
$A = B$ の否定を $A \neq B$ で表す.
(5)
集合 $\mathcal A$ の元たちが集合であることを強調したいとき, 集合 $\mathcal A$ を集合族(family of sets)と呼ぶ.
 以下, 上記の各公理について説明する.

外延性公理

公理≪外延性公理(Axiom of extensionality)≫

 任意の集合 $A,$ $B$ に対して, $A = B$ $\iff$ (任意の $x$ に対して $x \in A$ $\Leftrightarrow$ $x \in B.$)
 外延性公理は, 任意の集合がその元全体から一意に定まることを主張する.

定義≪包含関係・部分集合≫

(1)
集合 $A,$ $B$ が任意の $x$ に対して $x \in A \Longrightarrow x \in B$ を満たすとき, $B$ は $A$ を含む(include), $A$ は $B$ に含まれるといい, $A$ を $B$ の部分集合(subset)と呼び, $A \subset B$ または $B \supset A$ と表す. 集合 $B$ の部分集合 $A$ を集合 $A \subset B$ と呼ぶこともある.
(2)
$A \subset B$ という関係を包含関係(inclusion relation)と呼ぶ.

定理≪集合の相等と包含関係≫

 任意の集合 $A,$ $B$ に対して,
$A = B$ $\iff$ ($A \subset B$ かつ $A \supset B.$)

空集合の公理

公理≪空集合の公理(Axiom of empty set)≫

 $1$ つも元を持たない集合 $E$ が存在する.

定義≪空集合≫

 空集合の公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $E$ を空集合(empty set)と呼び, $\varnothing$ で表す.

対の公理

公理≪対の公理(Axiom of paring)≫

 任意の集合 $a,$ $b$ に対して, 集合 $C$ で $a,$ $b$ のみを元に持つものが存在する.

定義≪非順序対≫

 対の公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $C$ を $a,$ $b$ の非順序対(non-ordered pair)と呼び, $\{ a,\ b\}$ で表す. $\{ a,\ a\}$ を $\{ a\}$ で表し, この形の集合を$1$ 元集合(singleton)と呼ぶ.

和集合の公理

公理≪和集合の公理(Axiom of union)≫

 任意の集合(集合族) $\mathcal A$ に対して, 集合 $U$ で $\mathcal A$ に属する集合の元全体から成る集合が存在する.

定義≪和集合≫

 和集合の公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $U$ を $\mathcal A$ の和集合(union)と呼び, $\bigcup\mathcal A$ または $\bigcup\limits_{A\in \mathcal A}A$ で表す. 特に集合族 $\{ A,\ B\}$ の和集合を $A\cup B$ で表す.

冪集合の公理

公理≪冪集合の公理(Axiom of power set)≫

 任意の集合 $A$ に対して, 集合 $\mathcal P$ で $A$ の部分集合全体から成る集合が存在する.

定義≪冪集合≫

 冪集合の公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $\mathcal P$ を $A$ の冪集合(power set)と呼び, $\mathscr P(A)$ で表す.

定理≪冪集合と包含関係≫

 任意の集合 $A,$ $B$ に対して, $A \subset B$ $\Longrightarrow$ $\mathscr P(A) \subset \mathscr P(B).$

無限公理

公理≪無限公理(Axiom of infinity)≫

 集合 $N$ で空集合 $\varnothing$ を元に持ち, かつ任意の元 $x \in N$ に対して $x\cup \{ x\} \in N$ を満たすものが存在する.
 無限公理の主張を満たす「最小」の集合として,「自然数」全体から成る集合が定義される(自然数の章を参照).

分出公理

公理≪分出公理(Axiom of separation)≫

 $\varphi$ を任意の論理式とする.
このとき, 任意の集合 $A$ に対して, $\varphi (x)$ を満たす元 $x \in A$ 全体から成る集合 $B$ が存在する.

定義≪内包的記法(Connotative notation)≫

 分出公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $B$ を $\{ x\in A|\varphi (x)\}$ で表す.

定理≪共通部分≫

 任意の集合(集合族) $\mathcal A \neq \varnothing$ に対して, 集合 $A_0 \in \mathcal A$ のとり方によらず, 集合 $I = \{ x\in A_0|x \in A\ \text{for all}\ A \in \mathcal A\}$ が一意に定まる.

定義≪共通部分≫

 集合 $I$ を $\mathcal A$ の共通部分(intersection)と呼び, $\bigcap\mathcal A$ または $\bigcap\limits_{A\in A}A$ で表す. 特に, 集合族 $\{ A,\ B\}$ の共通部分を $A\cap B$ で表す.

定理≪共通部分と包含関係≫

 任意の集合(集合族) $\mathcal A,$ $\mathcal B$ に対して, $\mathcal A \subset \mathcal B$ $\Longrightarrow$ $\bigcap\mathcal A \supset \bigcap\mathcal B.$

置換公理

 置換公理は, 分出公理を一般化したものである.

公理≪置換公理(Axiom of replacement)≫

 $\varphi$ を任意の論理式とする.
集合 $A$ について, 各 $x \in A$ に対し $\varphi (x,\ y)$ を満たす $y$ が一意的に定まるとき, ある $x \in A$ に対して $\varphi (x,\ y)$ を満たす $y$ 全体から成る集合 $B$ が存在する.

定義≪内包的記法(Connotative notation)≫

 置換公理より存在が保証され, 外延性公理より一意に定まる集合 $B$ を $\{ y|\varphi (x,\ y),\ x \in A\}$ で表す.

基礎の公理

公理≪基礎の公理(Axiom of foundation)≫

 $\varphi$ を任意の論理式とする.
このとき, 任意の集合 $X$ の各元 $x$ に対して $\varphi (x)$ が成り立つならば, 任意の集合 $X$ に対して $\varphi (X)$ が成り立つ.
 以下, 編集中.