COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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連立漸化式

連立漸化式

 初期条件 $a_1 = a,$ $b_1 = b$ と連立漸化式 \[ a_{n+1} = pa_n+qb_n,\ b_{n+1} = ra_n+sb_n\ (ps \neq qr)\] で定まる数列 $\{ a_n\},$ $\{ b_n\}$ の一般項は,
  • $\{ a_n+kb_n\}$ が等比数列になるような定数 $k$ を見つける方法
  • $\{ a_n\}$ の $3$ 項間漸化式に帰着させる方法
で求めることができる.

問題≪ペル方程式に関する連立漸化式≫

 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ を \[ x_1 = 3,\ y_1 = 2,\ x_{n+1} = 3x_n+4y_n,\ y_{n+1} = 2x_n+3y_n\] で定める.
(a)
数列 $\{ x_n+ky_n\}$ が公比 $r$ の等比数列となるような定数 $k,$ $r$ の組を $2$ 組求めよ. さらに, 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ の一般項を求めよ.
(b)
$x_n,$ $x_{n+1},$ $x_{n+2}$ の関係式を求めよ. また, 数列 $\{ x_{n+1}-\alpha x_n\}$ が公比 $\beta$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta$ の組を $2$ 組求めよ. さらに, 数列 $\{ x_n\},$ $\{ y_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

 こちらを参照.