COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角関数の和・積の公式

和積の公式

問題≪トレミーの定理≫

 すべての内角が $180^\circ$ 未満である四角形 $\mathrm{ABCD}$ が直径 $1$ の円に内接している. 辺 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CD},$ $\mathrm{DA}$ に対する円周角をそれぞれ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ とおく.
(1)
$\mathrm{AC},$ $\mathrm{BD}$ を $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を用いて表せ.
(2)
$\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
正弦定理により, \begin{align*} \mathrm{AC} &= \sin\angle\mathrm{CDA} \\ &= \sin (\angle\mathrm{ADB}+\angle\mathrm{BDC}) = \sin (\alpha +\beta ), \\ \mathrm{BD} &= \sin\angle\mathrm{DAB} \\ &= \sin (\angle\mathrm{BAC}+\angle\mathrm{CAD}) = \sin (\beta +\gamma ) \end{align*} が成り立つ.
(2)
正弦定理により \[\mathrm{AB} = \sin\alpha,\ \mathrm{BC} = \sin\beta,\ \mathrm{CD} = \sin\gamma,\ \mathrm{DA} = \sin\delta\] であるから, \[\sin (\alpha\!+\!\beta )\sin (\beta\!+\!\gamma ) \!=\! \sin\alpha\sin\gamma\!+\!\sin\beta\sin\delta\ \cdots [1]\] を示せばよい. 三角関数の積和公式と \begin{align*} (\alpha +\beta )+(\beta +\gamma ) &= (\alpha +\beta +\gamma +\delta )+\beta -\delta \\ &= 2\pi +\beta -\delta \end{align*} から \begin{align*} &2\sin (\alpha +\beta )\sin (\beta +\gamma ) \\ &= \cos (\alpha +\beta -\beta -\gamma )-\cos (\alpha +\beta +\beta +\gamma ) \\ &= \cos (\alpha -\gamma )+\cos (\beta -\delta ) \end{align*} が成り立ち, \[\alpha +\gamma = 2\pi -(\beta +\delta )\] から \begin{align*} &2(\sin\alpha\sin\gamma +\sin\beta\sin\delta ) \\ &= \cos (\alpha\!-\!\gamma )-\cos (\alpha\!+\!\gamma )+\cos (\beta\!-\!\delta )+\cos (\beta\!+\!\delta ) \\ &= \cos (\alpha -\gamma )+\cos (\beta -\delta ) \end{align*} が成り立つ. よって, $[1]$ が成り立つから, 求める等式が成り立つ.

背景

 本問の結果は「トレミーの定理」または「プトレマイオスの定理」(Ptolemy's theorem)として知られている.
 別証明については, こちらを参照されたい.

問題≪紙が重なった部分の面積の最小値≫

 $1$ 辺の長さが $1$ である正方形の紙を $2$ 本の対角線の交点を通る直線で折る. このとき, 紙が重なった部分の面積の最小値を求めよ.
[2011 信州大]

解答例

 $1$ 辺の長さが $1$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ の形をした紙を考える. その対角線の交点を $\mathrm O,$ 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm M$ とおく. 対称性により, $\mathrm O$ を通り $\mathrm{AM}$ と共有点をもつ直線 $l$ で折る場合について考えれば十分である. $l$ と $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm E$ とおき, $l$ に関して $\mathrm A,$ $\mathrm D$ と対称な点を $\mathrm A',$ $\mathrm D'$ とおく.
さらに, $\theta = \angle\mathrm{MOE}$ とおいて, 紙が重なった部分の面積を $S$ とおく. このとき, $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ となる. $0 < \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ のとき, $\mathrm{AB},$ $\mathrm A'\mathrm D'$ の交点を $\mathrm F$ とおくと, 対称性と \begin{align*} \mathrm{OE} &= \frac{\mathrm{OM}}{\cos\theta} = \frac{1}{2\cos\theta}\ \left(\because\mathrm{OM} = \dfrac{1}{2}\right), \\ \mathrm{OF} &= \frac{\mathrm{OM}}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)} = \frac{1}{2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)} \end{align*} であることから, \begin{align*} S &= 4\triangle\mathrm{OEF} = 4\cdot\frac{1}{2}\mathrm{OE}\cdot\mathrm{OF}\sin\frac{\pi}{4}\ \left(\because\angle\mathrm{EOF} = \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt 2\cos\theta\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)} \quad \cdots [1] \end{align*} が得られる. これは $\theta = 0$ のときにも成り立つ. $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ として, 積和の公式により $[1]$ を変形すると, \begin{align*} S &= \frac{1}{\sqrt 2\left\{\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\left( 2\theta -\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}} \\ &= \frac{1}{1+\sqrt 2\cos\left( 2\theta -\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{align*} が得られる. ゆえに, $S$ は, $2\theta -\dfrac{\pi}{4} = 0$ つまり $\theta = \dfrac{\pi}{8}$ のとき, 最小値 $\dfrac{1}{1+\sqrt 2} = \sqrt 2-1$ をとる.