COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

三角関数の和・積の公式

和積の公式

問題≪トレミーの定理≫

 すべての内角が $180^\circ$ 未満である四角形 $\mathrm{ABCD}$ が直径 $1$ の円に内接している. 辺 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CD},$ $\mathrm{DA}$ に対する円周角をそれぞれ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ とおく.
(1)
$\mathrm{AC},$ $\mathrm{BD}$ を $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を用いて表せ.
(2)
$\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
正弦定理により, \begin{align*} \mathrm{AC} &= \sin\angle\mathrm{CDA} \\ &= \sin (\angle\mathrm{ADB}+\angle\mathrm{BDC}) = \sin (\alpha +\beta ), \\ \mathrm{BD} &= \sin\angle\mathrm{DAB} \\ &= \sin (\angle\mathrm{BAC}+\angle\mathrm{CAD}) = \sin (\beta +\gamma ) \end{align*} が成り立つ.
(2)
正弦定理により \[\mathrm{AB} = \sin\alpha,\ \mathrm{BC} = \sin\beta,\ \mathrm{CD} = \sin\gamma,\ \mathrm{DA} = \sin\delta\] であるから, \[\sin (\alpha\!+\!\beta )\sin (\beta\!+\!\gamma ) \!=\! \sin\alpha\sin\gamma\!+\!\sin\beta\sin\delta\ \cdots [1]\] を示せばよい. 三角関数の積和公式と \begin{align*} (\alpha +\beta )+(\beta +\gamma ) &= (\alpha +\beta +\gamma +\delta )+\beta -\delta \\ &= 2\pi +\beta -\delta \end{align*} から \begin{align*} &2\sin (\alpha +\beta )\sin (\beta +\gamma ) \\ &= \cos (\alpha +\beta -\beta -\gamma )-\cos (\alpha +\beta +\beta +\gamma ) \\ &= \cos (\alpha -\gamma )+\cos (\beta -\delta ) \end{align*} が成り立ち, \[\alpha +\gamma = 2\pi -(\beta +\delta )\] から \begin{align*} &2(\sin\alpha\sin\gamma +\sin\beta\sin\delta ) \\ &= \cos (\alpha\!-\!\gamma )-\cos (\alpha\!+\!\gamma )+\cos (\beta\!-\!\delta )+\cos (\beta\!+\!\delta ) \\ &= \cos (\alpha -\gamma )+\cos (\beta -\delta ) \end{align*} が成り立つ. よって, $[1]$ が成り立つから, 求める等式が成り立つ.

背景

 本問の結果は「トレミーの定理」または「プトレマイオスの定理」(Ptolemy's theorem)として知られている.
 別証明については, こちらを参照されたい.