? 確率過程

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確率過程

理論

確率過程

 準備中.

問題

数学 B: 数列

問題≪$n$ 回目でカードの色が全部変わる確率≫

 白黒 $2$ 種類のカードがたくさんある. そのうち $k$ 枚のカードを手元に持っているとき, 次の操作 (*) を考える.
(*)
手持ちの $k$ 枚の中から $1$ 枚を等確率 $\dfrac{1}{k}$ で選び出し, それを違う色のカードに取り替える.
次の確率を求めよ.
(1)
最初に白 $2$ 枚, 黒 $2$ 枚, 計 $4$ 枚のカードを持っているとき, 操作 (*) を $n$ 回繰り返した後に初めて, $4$ 枚とも同じ色のカードになる確率.
(2)
最初に白 $3$ 枚, 黒 $3$ 枚, 計 $6$ 枚のカードを持っているとき, 操作 (*) を $n$ 回繰り返した後に初めて, $6$ 枚とも同じ色のカードになる確率.
[2008 東京大*]

解答例

 白の枚数を $w,$ 黒の枚数を $b$ とおく.
(1)
(A)
$(w,b) = (2,2)$ の状態から操作 (*) を行うと, 確率 $1$ で $(w,b) = (3,1),$ $(1,3)$ の状態になる.
(B)
$(w,b) = (3,1),$ $(1,3)$ の状態から操作 (*) を行うと,
(B1)
確率 $\dfrac{3}{4}$ で $(w,b) = (2,2)$ の状態になる.
(B2)
確率 $\dfrac{1}{4}$ で $(w,b) = (4,0),$ $(0,4)$ の状態になる.
よって, $(w,b) = (4,0),$ $(0,4)$ の状態になるのは (*) の試行を $n = 2m$ 回($m$: 正の整数)行ったときであり, (A) $\to$ (B1) という事象を $m-1$ 回だけ繰り返した後, (A) $\to$ (B2) という事象が $1$ 回起こる場合である.
ゆえに, 求める確率は, $n$ が偶数のとき $\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right) ^{\frac{n}{2}-1},$ $n$ が奇数のとき $0$ である.
(2)
(A)
$(w,b) = (3,3)$ の状態から操作 (*) を行うと, 確率 $1$ で $(w,b) = (4,2),$ $(2,4)$ の状態になる.
(B)
$(w,b) = (4,2),$ $(2,4)$ の状態から操作 (*) を行うと,
(B1)
確率 $\dfrac{2}{6}$ で $(w,b) = (5,1),$ $(1,5)$ の状態になる.
(B2)
確率 $\dfrac{4}{6}$ で $(w,b) = (3,3)$ の状態になる.
(C)
$(w,b) = (5,1),$ $(1,5)$ の状態から操作 (*) を行うと,
(C1)
確率 $\dfrac{1}{6}$ で $(w,b) = (6,0),$ $(0,6)$ の状態になる.
(C2)
確率 $\dfrac{5}{6}$ で $(w,b) = (4,2),$ $(2,4)$ の状態になる.
よって, $(w,b) = (6,0),$ $(0,6)$ の状態になるのは (*) の試行を $n = 2m+1$ 回($m$ は正の整数)行ったときであり,「(A) または (C2)」$\to$「(B1) または (B2)」という事象を $m$ 回だけ繰り返した後, (C1) が $1$ 回起こる場合である.
$2m$ 回目の操作において, (B1) が起こる確率を $p_m,$ (B2) が起こる確率を $q_m$ とおく. このとき, \begin{align*} p_m &= p_{m-1}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{6}+q_{m-1}\cdot 1\cdot\frac{2}{6}, \\ q_m &= p_{m-1}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}+q_{m-1}\cdot 1\cdot\frac{4}{6} = 2p_m \end{align*} となる. よって, \[ p_m = p_{m-1}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{6}+(2p_{m-1})\cdot 1\cdot\frac{2}{6} = \frac{17}{18}p_{m-1}\] と $p_1 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ から \[ p_m = \frac{1}{3}\left(\frac{17}{18}\right) ^{m-1}\] である. 以上から, 求める確率は, $n$ が $1$ または偶数のとき $0,$ $n$ が $3$ 以上の奇数のとき $p_m\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18}\cdot\left(\dfrac{17}{18}\right) ^{\frac{n-3}{2}}$ である.