COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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平方根

問題

平方根の計算

問題≪平方数の平方根≫

 正の数 $a,$ $b$ に対して $\sqrt b = a+1$ が成り立つとき, 次の式を $a$ で表せ. \[ c = \sqrt{b+3a^2+2a}+\sqrt{b-6a+3}.\]

解答例

 $\sqrt b = a+1$ より, \[ b = (a+1)^2 = a^2+2a+1\] だから, \begin{align*} &\sqrt{b+3a^2+2a} = \sqrt{4a^2+4a+1} \\ &= \sqrt{(2a+1)^2} = |2a+1| \\ &= 2a+1 \quad (\because 2a+1 > 0), \\ &\sqrt{b-6a+3} = \sqrt{a^2-4a+4} \\ &= \sqrt{(a-2)^2} = |a-2|. \end{align*} ゆえに, $0 < a < 2$ のとき \[ c = (2a+1)-(a-2) = a+3,\] $a \geqq 2$ のとき \[ c = (2a+1)+(a-2) = 3a-1.\]

問題≪分母の有理化≫

 次の式の分母を有理化せよ.
(a)
$\dfrac{2}{\sqrt 6+\sqrt 3+\sqrt 2+1}.$ 
(b)
$\dfrac{4}{1+\sqrt 2+\sqrt 3}.$ 

解答例

(a)
\begin{align*} &\frac{2}{\sqrt 6+\sqrt 3+\sqrt 2+1} = \frac{2}{(\sqrt 3+1)(\sqrt 2+1)} \\ &= \frac{2(\sqrt 3-1)(\sqrt 2-1)}{(\sqrt 3+1)(\sqrt 3-1)(\sqrt 2+1)(\sqrt 2-1)} \\ &= \frac{2(\sqrt 6-\sqrt 3-\sqrt 2+1)}{(3-1)(2-1)} = \sqrt 6-\sqrt 3-\sqrt 2+1. \end{align*}
(b)
\begin{align*} &\frac{4}{1+\sqrt 2+\sqrt 3} = \frac{4(1+\sqrt 2-\sqrt 3)}{(1+\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)} \\ &= \frac{4(1+\sqrt 2-\sqrt 3)}{(1+\sqrt 2)^2-3} = \frac{4(1+\sqrt 2-\sqrt 3)}{(3+2\sqrt 2)-3} \\ &= \sqrt 2(1+\sqrt 2-\sqrt 3) = \sqrt 2+2-\sqrt 6. \end{align*}

問題≪平方根を含む数の対称式≫

 $a = \dfrac{\sqrt 3+\sqrt 2}{\sqrt 3-\sqrt 2},$ $b = \dfrac{\sqrt 3-\sqrt 2}{\sqrt 3+\sqrt 2}$ のとき, 次の各式の値を求めよ.
(1)
$a+b,$ $ab.$ 
(2)
$a^2+b^2.$ 
(3)
$a^4+b^4.$ 

解答例

(1)
明らかに, \[ ab = 1 \quad \cdots [0].\] また, \begin{align*} a+b &= \frac{(\sqrt 3+\sqrt 2)^2+(\sqrt 3-\sqrt 2)^2}{(\sqrt 3+\sqrt 2)(\sqrt 3-\sqrt 2)} \\ &= \frac{(3+2\sqrt 6+2)+(3-2\sqrt 6+2)}{3-2}, \\ &= 10 \quad \cdots [1]. \end{align*}
(2)
$[0],$ $[1]$ より, \begin{align*} a^2+b^2 &= (a+b)^2-2ab \\ &= 10^2-2\cdot 1 = 98 \quad \cdots [2]. \end{align*}
(3)
$[0],$ $[2]$ より, \begin{align*} a^4+b^4 &= (a^2)^2+(b^2)^2 \\ &= (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 \\ &= 98^2-2\cdot 1^2 = 99602. \end{align*}

問題≪平方根の整数部分・小数部分≫

 $2\sqrt 3$ の整数部分 $a,$ 小数部分 $b$ と, $a^2+ab+b^2$ の値を求めよ.

解答例

 $9 < 12 < 16$ より $3 < 2\sqrt 3 < 4$ だから, \[ a = 3, \quad b = 2\sqrt 3-3.\] また, $a+b = 2\sqrt 3$ だから, \begin{align*} &a^2+ab+b^2 = a^2+(a+b)b \\ &= 3^2+2\sqrt 3(2\sqrt 3-3) = 9+(12-6\sqrt 3) \\ &= 21-6\sqrt 3. \end{align*}

問題≪平方根の和の整数部分≫

 $\sqrt 2+\sqrt 3$ の整数部分を求めよ.

解答例

 $4 = \sqrt{16} < \sqrt{18} = 3\sqrt 2,$ $\sqrt 2 < \sqrt 4 = 2$ だから, \[\frac{4}{3} < \sqrt 2 < 2 \quad \cdots [1].\] $5 = \sqrt{25} < \sqrt{27} = 3\sqrt 3,$ $\sqrt 3 < \sqrt 4 = 2$ だから, \[\frac{5}{3} < \sqrt 2 < 2 \quad \cdots [2].\] $[1],$ $[2]$ の辺々を加えると, \[ 3 < \sqrt 2+\sqrt 3 < 4.\] ゆえに, $\sqrt 2+\sqrt 3$ の整数部分は, $3.$

別解

 $3 < \sqrt 2+\sqrt 3 < 4\ \cdots [\ast ]$ を示す. $(\sqrt 2+\sqrt 3)^2 = 5+2\sqrt 6$ より, $9 < 5+2\sqrt 6 < 16$ すなわち $4 < 2\sqrt 6 < 11$ を示せば良いが, これは $16 < 24 < 121$ より従う.
ゆえに, $[\ast ]$ が成り立つから, $\sqrt 2+\sqrt 3$ の整数部分は $3.$

解説

 $\sqrt 2 = 1.41 \cdots,$ $\sqrt 3 = 1.73\cdots$ という近似値を知っていれば, $1.4 < \sqrt 2 < 1.5,$ $1.7 < \sqrt 3 < 1.8$ より, $3 < 3.1 < \sqrt 2+\sqrt 3 < 3.3 < 4$ が得られる. しかし, 記述式の問題では, 断りのない限り, 無理数の近似値を証明なしに使うと減点の対象になる.

問題≪実数と小数部分の和≫

 正の数 $a$ とその小数部分 $d$ が $a+d = 2\sqrt 2$ を満たすとき, $a$ の値を求めよ.

解答例

 $0 \leqq d < 1$ より, \[ a \leqq a+d < a+1\] だから, \[ a+d = 2\sqrt 2 \quad \cdots [1]\] を代入すると, $a \leqq \sqrt 2 < a+1$ より \[ 1 < 2\sqrt 2-1 < a \leqq 2\sqrt 2 < 3\] となる. よって, $a$ の整数部分は $a-d = 1,$ $2$ だから, \[ d = a-1,\ a-2.\]
(i)
$d = a-1$ のとき. $[1]$ より $a+(a-1) = 2\sqrt 2$ となるから, \[ a = \sqrt 2+\frac{1}{2}.\]
(ii)
$d = a-2$ のとき. $[1]$ より $a+(a-2) = 2\sqrt 2$ となるから, \[ a = \sqrt 2+1.\]

問題≪二重根号の線形和≫

 $a = \dfrac{1}{2-\sqrt 3},$ $b = \dfrac{1}{2+\sqrt 3}$ のとき, $\sqrt a-\sqrt b$ の値を求めよ.

解答例

\[ (\sqrt a-\sqrt b) ^2 = a+b-2\sqrt{ab} \quad \cdots [1].\] また, \begin{align*} a &= \frac{2+\sqrt 3}{(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)} = \frac{2+\sqrt 3}{2^2-3} = 2+\sqrt 3, \\ b &= \frac{2-\sqrt 3}{(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)} = \frac{2-\sqrt 3}{2^2-3} = 2-\sqrt 3. \end{align*} よって, \begin{align*} a+b &= 4 \quad \cdots [2], \\ ab &= 2^2-3 = 1 \quad \cdots [3]. \end{align*} $[1]$ に $[2],$ $[3]$ を代入すると, \[ (\sqrt a-\sqrt b)^2 = 4-2\sqrt 1 = 2.\] $a > b$ より $\sqrt a > \sqrt b$ すなわち $\sqrt a-\sqrt b > 0$ だから, \[\sqrt a-\sqrt b = \sqrt 2.\]

平方根と無理数

問題≪平方根の和の無理性≫

 $a,$ $b$ を非負の有理数とする. $\sqrt a$ または $\sqrt b$ が無理数ならば, $\sqrt a+\sqrt b$ は無理数であることを示せ.  

解答例

 $\sqrt a \geqq 0,$ $\sqrt b \geqq 0$ より $\sqrt a+\sqrt b \geqq 0$ であることに注意しておく.
対偶を示すため, $\sqrt a+\sqrt b$ が有理数であるとする.
(i)
$\sqrt a+\sqrt b = 0$ のとき. $\sqrt a = \sqrt b = 0$ より, $\sqrt a,$ $\sqrt b$ は有理数である.
(ii)
$\sqrt a+\sqrt b > 0$ のとき. $a,$ $b$ は有理数だから, \[ (\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b) = a^2-b^2\] は有理数で, \[\sqrt a-\sqrt b = \frac{a^2-b^2}{\sqrt a+\sqrt b}\] も有理数である. よって, \begin{align*} \sqrt a &= \frac{(\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)}{2}, \\ \sqrt b &= \frac{(\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt a-\sqrt b)}{2} \end{align*} は有理数である.
(i), (ii) より, $\sqrt a,$ $\sqrt b$ は有理数である.
ゆえに, 対偶は真だから, 元の命題も真である.

問題≪平方根を含む方程式≫

(1)
$\sqrt 2$ は無理数であることを用いて, 任意の有理数 $a,$ $b,$ $a',$ $b'$ に対し次が成り立つことを示せ. \[ a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2 \iff a = a',\ b = b'.\]
(2)
$2$ 次方程式 $x^2-2x-1 = 0$ の解 $\alpha$ に対して, $(\alpha +a)(\alpha +b) = -2$ を満たす定数 $a,$ $b$ の値を求めよ.

解答例

(1)
$a,$ $b,$ $a',$ $b'$ を有理数とする.
$a = a',$ $b = b'$ $\Longrightarrow$ $a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ は明らか.
逆に, $a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ を仮定する.
仮に $b \neq b'$ すなわち $b-b' \neq 0$ であるとすると, \[\sqrt 2 = \dfrac{a'-a}{b-b'}\] となり, $\sqrt 2$ が無理数であることに反する.
よって, $b = b'.$ このとき, $a'-a = (b-b')\sqrt 2 = 0$ より, $a = a'.$
ゆえに, $a+b\sqrt 2 = a'+b'\sqrt 2$ $\Longrightarrow$ $a = a',$ $b = b'.$
(2)
$x^2-2x-1 = 0$ を解くと, \[\alpha = 1\pm\sqrt 2.\] また, $\alpha ^2-2\alpha -1 = 0$ より, \[\alpha ^2 = 2\alpha +1.\] よって, \begin{align*} &(\alpha +a)(\alpha +b) \\ &= \alpha ^2+(a+b)\alpha +ab \\ &= (2\alpha +1)+(a+b)\alpha +ab \\ &= (a+b+2)\alpha +(ab+1) \\ &= (a+b+2)(1\pm\sqrt 2)+(ab+1) \\ &= (ab+a+b+3)\pm (a+b+2)\sqrt 2. \end{align*} 一方, $(\alpha +a)(\alpha +b) = -2$ だから, (1) より, \begin{align*} ab+a+b+3 &= -2 \quad \cdots [1], \\ a+b+2 &= 0 \quad \cdots [2]. \end{align*} $[2]$ より, $b = -a-2.$
これを $[1]$ すなわち $(a+1)b+(a+5) = 0$ に代入して整理すると, \[ a^2+2a-3 = 0.\] よって, $a = 1,\ -3.$
$a = 1$ のとき $b = -3,$ $a = -3$ のとき $b = 1.$
ゆえに, \[ (a,\ b) = (1,\ -3),\ (-3,\ 1).\]

問題≪ある $3$ つの平方根の和の無理性≫

 $a = \sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$ が無理数であることを示せ.

解答例

 $a-\sqrt 5 = \sqrt 2+\sqrt 3$ の両辺を $2$ 乗すると \[ a^2-2a\sqrt 5+5 = 5+2\sqrt 6\] となるから, \[ a^2-2a\sqrt 5 = 2\sqrt 6.\] 両辺を $2$ 乗すると \[ a^4-4a^3\sqrt 5+20a^2 = 24\] となるから, \[\sqrt 5 = \frac{a^4+20a^2-24}{4a^2}.\] $\sqrt 5$ は無理数だから, $a$ は有理数ではあり得ない.
ゆえに, $a$ は無理数である.

問題≪無理数の整数倍の小数部分≫

 整数 $m,$ $n$ と正の無理数 $a$ に対して, $m \neq n$ ならば $ma,$ $na$ の小数部分は互いに異なることを示せ.

解答例

 正の数 $x$ の小数部分を $\{ x\}$ で表すことにする.
仮に $m \neq n,$ $\{ ma\} = \{ na\}$ が成り立つとする.
このとき, $ma-na = (m-n)a$ は整数である.
その値を $\ell$ とおくと, \[ a = \frac{\ell}{m-n}\] となってしまい, $a$ が無理数であることに反する.
ゆえに, $m \neq n$ $\Longrightarrow$ $\{ ma\} \neq \{ na\}$ が成り立つ.