? 部分群・剰余群

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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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部分群・剰余群

理論

部分群

定義≪部分群≫

 群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が次の条件を満たすとき, $H$ を $G$ の部分群(subgroup)と呼ぶ.
(H1)
$H$ は $G$ の演算について閉じている: 各 $a,$ $b \in H$ に対して $ab \in H$ である.
(H2)
$H$ は逆元について閉じている: 各 $a \in H$ に対して $a^{-1} \in H$ である.
$\{ 1\},$ $G$ は明らかに $G$ の部分群である. これを $G$ の自明な部分群(trivial subgroup)と呼び, これと異なる $G$ の部分群を $G$ の真の部分群(proper subgroup)と呼ぶ.

例≪部分群≫

(1)
$\{ \pm 1\}$ は $\{\pm 1,\ \pm i\}$ の部分群である.
(2)
$m$ を非負整数とすると, $m$ の倍数全体は加法に関して $\mathbb Z$ の部分群を成す. これは, \[ mq+mq' = m(q+q'),\ -mq = m(-q)\ (q,\ q' \in \mathbb Z)\] から, $m$ の倍数の和も $m$ の倍数であり, $m$ の倍数の符号を変えた整数も $m$ の倍数であることから従う.

定義≪群の中心≫

 群 $G$ に対して, \[ Z(G) = \{ z \in G|zg = gz\ (g \in G)\}\] を $G$ の中心(center)と呼ぶ..

命題≪群の中心は部分群≫

 群 $G$ の中心は $G$ の部分群である.

証明

 こちらを参照.

定義≪群の生成系≫

 $G$ を群とし, $S$ をその空でない部分集合とする.
(1)
$S$ を含むような $G$ の部分群すべての共通部分は, $S$ を含むような $G$ の最小の部分群となる. この群を $S$ により生成される $G$ の部分群(subgroup of $G$ generated by $S$)と呼び, $\langle S\rangle$ で表す. $S = \{ a_1,\ \cdots,\ a_r\}$ のとき, $\langle S\rangle$ を $\langle a_1,\ \cdots,\ a_r\rangle$ で表す.
(2)
$S = \{ a\}$ のとき, $\langle S\rangle = \langle a\rangle$ を $a$ により生成される $G$ の巡回部分群(cyclic subgroup)と呼ぶ.
(3)
$G = \langle S\rangle$ のとき, $G$ は $S$ により生成されるといい, $S$ をその生成系(generating set)と呼ぶ. 特に, ある $a \in G$ に対して $G = \langle a\rangle$ となるとき, $G$ を巡回群(cyclic group)と呼び, $a$ をその生成元(generator)と呼ぶ.

例≪巡回群≫

 $1$ の $4$ 乗根全体が乗法に関して成す群 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は, 虚数単位 $i$ によって生成される.

命題≪集合が生成する群と巡回群の構造≫

(1)
群 $G$ とその空でない部分集合 $S$ に対して, $S$ により生成される $G$ の部分群は \[\langle S\rangle = \{ a_1\cdots a_r|r \in \mathbb N,\ a_k \in S\cup S^{-1}\}\] で与えられる.
(2)
$G$ が $a$ により生成される巡回群であるとき, \[ G = \{ a^k|k \in \mathbb Z\}\] が成り立つ. さらに, $|G| = n$ のとき, $G$ の生成元 $a$ の位数は $n$ であり, \[ G = \{ a^k|1 \leqq k \leqq n,\ k \in \mathbb Z\}\] が成り立つ. また, 位数が $n$ の元 $a$ で生成される群 $G$ の部分群の位数は $n$ である. さらに, 整数 $k$ に対して, $a^k$ がその群 $\langle a\rangle$ を生成するためには, $k$ と $n$ が互いに素であることが必要十分である.

証明

(1)
略.
(2)
前半: 略.
後半: \begin{align*} \langle a^k\rangle = \langle a\rangle &\iff \mathrm{ord}\,(a^k) = n \\ &\iff n = n/(k,n) \\ &\iff (k,n)= 1 \end{align*} から成り立つ.

命題≪巡回群の部分群≫

(1)
巡回群の部分群もまた巡回群である.
(2)
$G$ が位数 $n$ の巡回群であるとき, $n$ の任意の正の約数 $d$ に対して, $G$ の位数 $d$ の巡回部分群が唯 $1$ つ存在する.

証明

(1)
$G$ を $a$ により生成される巡回群とし, $H$ をその部分群とする. $H = \{ 1\}$ のとき題意は明らかに成り立つから, $H \neq \{ 1\}$ とする. このとき, $H \subset G$ であり, $G$ が $a$ で生成されることから, $H$ の $1$ 以外の元は $a^n\ (n \in \mathbb Z)$ の形に表される. また, $a^n \in H$ $\Longrightarrow$ $a^{-n} \in H$ であるから, $a^n \in H$ なる正の整数 $n$ が存在する. そのような $n$ の最小値を $m$ とおく. すると, $\langle a^m\rangle \subset H$ となる. また, $H$ の任意の元 $b$ は $b = a^n\ (n \in \mathbb Z)$ の形に表される. $n = mq+r$ $(q,\ r \in \mathbb Z,\ 0 \leqq r < m)$ とおくと, \[ a^r = a^{n-mq} = a^na^{-mq} = b(a^m)^{-q} \in H\] となるので, $m$ の最小性から $r = 0$ となる. よって, $b = a^{mq} = (a^m)^q \in \langle a^m\rangle$ が成り立つ. したがって, $\langle a^m\rangle \subset H$ である. ゆえに, $H = \langle a^m\rangle$ であるから, $H$ は巡回群である.
(2)
略.

剰余類

記号

 群 $G$ の部分集合 $S,$ $T \neq \varnothing$ に対して \[ ST = \{ st|s \in S,\ t \in T\}, \quad S^{-1} = \{ s^{-1}|s \in S\}\] と定める. さらに, $S = \{ s\}$ のとき $sT = ST$ と定め, $T = \{ t\}$ のとき $ST = St$ と定める.

命題≪左右の合同関係は同値関係≫

 $G$ を群, $H$ をその部分群とする. $a,$ $b \in H$ に対して
$a^{-1}b \in H$ (resp. $ba^{-1} \in H$)
のときに限り $a \sim _L b$ (resp. $a \sim _R b$)であると定めると, $\sim _L$ (resp. $\sim _R$)は $G$ 上の同値関係になる. $a \in G$ の $\sim _L$ (resp. $\sim _R$)による同値類は $aH = \{ ah|h \in H\}$ (resp. $Ha = \{ ha|h \in H\}$)により表される.

証明

 $\sim _L$ が同値関係であることを示す. $a,$ $b,$ $c \in G$ をとる.
(i)
$a^{-1}a = 1 \in H$ から, $a \sim _La$ が成り立つ.
(ii)
$a \sim _Lb$ つまり $a^{-1}b \in H$ であるとすると, \[ b^{-1}a = (a^{-1}b)^{-1} \in H\] から $b \sim _La$ が成り立つ.
(iii)
$a \sim _Lb,$ $b \sim _Lc,$ つまり $a^{-1}b \in H,$ $b^{-1}c \in H$ であるとすると, \[ a^{-1}b = a^{-1}1b = a^{-1}(bb^{-1})c = (a^{-1}b)(b^{-1}c) \in H\] から $a \sim _Lc$ が成り立つ.
(i)~(iii) から, $\sim _L$ は $G$ 上の同値関係である.
 $\sim _R$ が同値関係であることも, 同様に示される.

定義≪剰余類≫

 上記のように定まる群 $G$ 上の同値関係 $\sim _L$ (resp. $\sim _R$)を $H$ を法とする左合同関係(left congruence relation)(resp. 右合同関係)と呼び, $a \in G$ の同値類を $a$ の $H$ を法とする左剰余類(left residue class)(resp. 右剰余類)と呼ぶ. $G$ の $\sim _L$ (resp. $\sim _R$)による商集合を $G/H$ (resp. $H\setminus G$)で表す.

命題≪左剰余類と右剰余類の対応≫

 $G$ を群, $H$ をその部分群とする. このとき, 写像 \[ G/H \to H\setminus G;aH \mapsto Ha^{-1}\] は全単射である.

定義≪部分群の指数≫

 群 $G$ とその部分群 $H$ について, $G/H$ つまり $H\setminus G$ の元の個数が有限であるとき, その個数を $G$ の $H$ による指数(index)と呼び, $(G:H)$ で表す.

定理≪群論における Lagrange の定理≫

 $G$ を有限群, $H$ をその部分群とする. このとき, \[ |G| = (G:H)|H|\] が成り立つ. 特に, $H$ の位数は $G$ の位数を割り切る.

証明

 商集合の性質から, $G$ は $r = (G:H)$ 個の同値類 $a_1H,$ $\cdots,$ $a_rH$ $(a_1,\ \cdots,\ a_r \in G)$の和集合 \[ G = \bigcup_{k = 1}^ra_kH\] として表せる. 同値類は互いに共通部分を持たず, 各 $1 \leqq k \leqq r$ に対して $a_kH$ は $|H|$ 個の元から成るから, $|G| = (G:H)|H|$ が成り立つ.

系≪群の位数と元の位数の関係≫

 有限群 $G$ の各元 $a$ の位数は $G$ の位数の約数である.

証明

 $a$ の位数は, $a$ を生成元とする $G$ の巡回部分群の位数に等しいので, Lagrange の定理により $G$ の位数の約数である.

定理≪位数が素数の群≫

 $G$ を群とする. ある素数 $p$ に対して $|G| = p$ であるならば, $G$ は巡回群である.

証明

 $a$ を $G$ の単位元以外の元とし, $a$ の位数を $n$ とおく. このとき, $a$ の生成する $G$ の部分群 $\langle a\rangle$ の位数は $n$ である. よって, Lagrange の定理により, $n$ は $p$ の約数である. $p$ は素数であり, $a$ は単位元と異なるから, $n = p$ が成り立つ. よって, $G = \langle a\rangle$ であるから, $G$ は巡回群である.

定理≪位数が素数の平方の群≫

 $G$ を群とする. ある素数 $p$ に対して $|G| = p^2$ であるならば, $G$ は可換群である.

証明

 $p$ を素数とし, $G$ を位数が $p^2$ の群とする. $G$ の中心 $Z = Z(G)$ について, $Z = G$ であることを示せば良い. $G\setminus \{ 1\}$ の元の個数は $p$ と互いに素であることから, ある $z \in G\setminus\{ 1\}$ に対して $gzg^{-1} = z$ ($g \in G$)つまり $zg = gz$ ($g \in G$)の成り立つことが分かる. よって, $Z \neq \{ 1\}$ であることに注意しておく. $G \neq Z$ とすると, Lagrange の定理により $(G:Z) = |Z| = p$ となり, $G$ の任意の元は $G\setminus Z$ の元 $a$ を用いて \[ a^kz \quad (0 \leqq k \leqq p-1,\ z \in Z)\] の形に書けて, $G$ のすべての元が互いに可換となってしまう. ゆえに, $G = Z$ が成り立つ.

系≪非可換群の位数の最小値≫

 非可換群の位数の最小値は $6$ である.

証明

 単位群は明らかに可換であり, 位数 $2,$ $3,$ $5$ の群は上記の定理により可換である. また, 位数 $4$ の群も上で示した定理から可換である. $3$ 次の対称群 $\mathfrak S_3$ の $\sigma (1) = 2,$ $\sigma (2) = 1,$ $\sigma (3) = 3,$ $\tau (1) = 1,$ $\tau (2) = 3,$ $\tau (3) = 2$ なる元 $\sigma,$ $\tau$ は \[ (\tau\sigma )(1) = 3 \neq 2 = (\sigma\tau )(1)\] から $\tau\sigma \neq \sigma\tau$ を満たすので, $\mathfrak S_3$ は可換でない. この群は $3! = 6$ 個の元から成るので, 非可換群の位数の最小値は $6$ である.

正規部分群と剰余群

定義≪正規部分群≫

 群 $G$ の部分群 $N$ が \[ aN = Na \quad (a \in G)\] を満たすとき, $N$ を $G$ の正規部分群(normal subgroup)と呼び, $N \triangleleft G$ と表す.

命題≪剰余群≫

 $G$ を群, $N$ をその正規部分群とする. このとき, $N$ を法とする剰余類 $aN,$ $bN$ ($a,\ b \in G$)について, \[ (aN)(bN) = (ab)N\] が成り立つ. さらに, $G/N$ はこの等式により定まる二項演算に関して群を成す.

証明

 $N$ が二項演算について閉じていることから $NN \subset N$ であり, 単位元の性質から $N \subset 1N \subset NN$ であるので, $NN = N$ が成り立つ. よって, $a,$ $b \in G$ に対して \[ (aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)(NN) = (ab)N\] が成り立つ. また, $G/N$ の結合律は $G$ の結合律から従う. $G/N$ の単位元は $N$ であり, $aN$ の逆元は $a^{-1}N$ である.

定義≪剰余群≫

 群 $G$ とその正規部分群 $N$ に対して, 上記のように定まる群 $G/N$ を剰余(類)群(residue (class) group)または商群(quotient group)と呼ぶ.

問題

部分群・剰余群

問題≪部分群の判定法≫

 群 $G$ の部分集合 $H \neq \varnothing$ に対して, 次は同値であることを示せ.
(i)
$H \leq G.$ 
(ii)
$HH = H,$ $H^{-1} = H.$ 
(iii)
任意の $a,$ $b \in H,$ に対して $ab^{-1} \in H.$
(iv)
$HH^{-1} = H.$ 

解答例

(i) $\Rightarrow$ (ii):
(i) を仮定する. 部分群の条件 (Hi), (Hii) は $HH \subset H,$ $H^{-1} \subset H$ を意味する. また, 任意の $h \in H$ は $h = h1 = (h^{-1})^{-1}$ と表せるから, $H \subset HH,$ $H \subset H^{-1}.$ よって, $HH = H,$ $H^{-1} = H.$
(ii) $\Rightarrow$ (i):
(ii) を仮定する. このとき, $HH \subset H,$ $H^{-1} \subset H$ より, $H \leq G.$
(i) $\Rightarrow$ (iii):
(i) を仮定する. $a,$ $b \in H$ とすると, (Hii) より $b \in H^{-1}$ となるから, (Hi) より $ab^{-1} \in H.$
(iii) $\Rightarrow$ (i):
(iii) を仮定する.
(Hii)
仮定より, 各 $a \in H$ に対して $a^{-1} = 1a^{-1} \in H.$
(Hi)
$a,$ $b \in H$ とすると, (Hii) より $b^{-1} \in H$ だから, 仮定より $ab = a(b^{-1})^{-1} \in H.$
(Hi), (Hii) より, $H \leq G.$
(iii) $\Rightarrow$ (iv):
(iii) を仮定する. このとき, $HH^{-1} \subset H.$ また, 任意の $h \in H$ は $h = h1^{-1}$ と表せるから, $H \subset HH^{-1}.$ よって, $HH^{-1} = H.$
(iv) $\Rightarrow$ (iii):
$HH^{-1} \subset H$ は (iii) を意味する.

問題≪$HK$ が部分群になる条件≫

 群 $G$ の部分群 $H,$ $K$ に対して, 次は同値であることを示せ.
(i)
$HK \leq G$  
(ii)
$HK = KH.$

解答例

(i) $\Rightarrow$ (ii):
$HK \leq G$ を仮定すると, $HK$ の任意の元はある $h \in H,$ $k \in K$ を用いて $hk$ と表せる. このとき, $k^{-1}h^{-1} \in KH$ より, \[ hk = (h^{-1})^{-1}(k^{-1})^{-1} = (k^{-1}h^{-1})^{-1} \in KH.\] よって, $HK \subset KH.$ 同様にして $KH \subset HK$ も示せるから, $HK = KH.$
(ii) $\Rightarrow$ (i):
$HK = KH$ を仮定すると, \begin{align*} (HK)(HK) &= H(KH)K = H(HK)K \\ &= (HH)(KK) = HK, \\ (HK)^{-1} &= K^{-1}H^{-1} = KH = HK \end{align*} となるから, $HK \leq G.$

問題≪正規部分群の判定法≫

 群 $G$ の部分群 $N$ に対して, 次は同値であることを示せ.
(i)
$N \triangleleft G$ である.
(i)'
任意の $a \in G$ に対して $aN \subset Na$ が成り立つ.
(ii)
任意の $a \in G$ に対して $aNa^{-1} = N$ が成り立つ.
(ii)'
任意の $a \in G$ に対して $aNa^{-1} \subset N$ が成り立つ.
(iii)
任意の $a \in G,$ $x \in N$ に対して $axa^{-1} \in N$ が成り立つ.

解答例

 任意の $a \in G$ に対して $aN \subset Na$ 成り立つとすると, 任意の $a \in G$ に対して, $a^{-1}N \subset Na^{-1}$ が成り立つので, 両辺に左右から $a$ を掛けると $Na \subset aN$ が得られる. これは, (i)' $\Longrightarrow$ (i) が成り立つことを示している. その他の部分は明らかである.

問題≪群の中心≫

 群 $G$ の中心 $Z(G)$ は $G$ の部分群であることを示せ.

解答例

(i)
$1 \in G$ より, $G \neq \varnothing.$
(ii)
$z,$ $w \in Z(G)$ とすると, 各 $g \in G$ に対して \[ (zw)g = z(wg) = z(gw) = (zg)w = (gz)w = g(zw)\] となるから, $zw \in Z(G).$
(iii)
$z \in Z(G)$ とすると, 各 $g \in G$ に対して \[ gz = zg\] となるから, 両辺の左右から $z^{-1}$ を掛けると, \[ z^{-1}g = gz^{-1}\] となる.
(i)~(iii) より, $Z(G)$ は $G$ の部分群である.

問題≪指数 $2$ の部分群の正規性≫

 群 $G$ における部分群 $H$ の指数が $2$ ならば, $H$ は $G$ の正規部分群であることを示せ.

解答例

(i)
$g \in H$ のとき. 任意の $h \in H$ に対して \[ ghg^{-1} \in H, \quad h = gg^{-1}hgg^{-1} \in gHg^{-1}\] となるから, $gHg^{-1} = H.$
(ii)
$g \in G\setminus H$ のとき. \[ G = H\cup gH = H\cup Hg, \quad H\cap gH = H\cap Hg = \varnothing\] となるから, $gH = Hg$ より, $gHg^{-1} = H.$
(i), (ii) より, 任意の $g \in G$ に対して $gHg^{-1} = H$ となるから, $H$ は $G$ の正規部分群である.

問題≪有限体の乗法群≫

 任意の素数 $p$ に対して, $p$ 個の元から成る有限体 $\mathbb F_p$ の乗法群 $\mathbb F_p{}^\times = \mathbb F_p\setminus\{ 0\}$ は巡回群である.

解答例

 Fermat の小定理により, \[\mathbb F_p{}^\times = \{ a \in \mathbb F_p|a^{p-1} = 1\}.\] $\mathbb F_p{}^\times$ には位数 $p-1$ の元 $\zeta$ が存在することが $\mathbb F_p{}^\times$ の元の位数による分類から分かる(後日紹介). \[\langle\zeta\rangle \subset \mathbb F_p{}^\times\] の両辺の位数は $p-1$ であるから, 両辺は一致する. 左辺は巡回群だから, $\mathbb F_p{}^\times$ は巡回群である.