COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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べき乗和の公式

べき乗和の公式

定理≪べき乗和の公式≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, \begin{align*} \sum_{k = 1}^nk &= \frac{1}{2}n(n+1) \quad \cdots [1], \\ \sum_{k = 1}^nk^2 &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \quad \cdots [2], \\ \sum_{k = 1}^nk^3 &= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \quad \cdots [3] \end{align*} が成り立つ.

証明

\[ 2x = (x+1)^2-x^2-1\] に $x = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \begin{align*} 2\sum_{k = 1}^nk &= (n+1)^2-1^2-n \\ &= (n+1)^2-(n+1) \\ &= n(n+1) \end{align*} となるから, $[1]$ が成り立つ. \[ 3x^2 = (x+1)^3-x^3-1-3x\] に $x = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \begin{align*} 3\sum_{k = 1}^nk^2 &= (n+1)^3-1^3-n-3\sum_{k = 1}^nk \\ &= (n+1)^3-(n+1)-3\cdot\frac{1}{2}n(n+1) \\ &= \frac{1}{2}(n+1)\{ 2(n+1)^2-2-3n\} \\ &= \frac{1}{2}(n+1)(2n^2+n) \\ &= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \end{align*} となるから, $[2]$ が成り立つ. \[ 4x^3 = (x+1)^4-x^4-1-4x-6x^2\] に $x = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \begin{align*} 4\sum_{k = 1}^nk^3 &= (n+1)^4-1^4-n-4\sum_{k = 1}^nk-6\sum_{k = 1}^nk^2 \\ &= (n+1)^4-(n+1) \\ &\qquad -4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-6\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= (n+1)^4-(n+1)\\ &\qquad -2n(n+1)-n(n+1)(2n+1) \\ &= (n+1)\{ (n+1)^3-1-2n-n(2n+1)\} \\ &= (n+1)(n^3+n^2) \\ &= n^2(n+1)^2 \end{align*} となるから, $[3]$ が成り立つ.

問題≪平方三角数とペル方程式≫

(1)
図のように, $l$ 行 $l$ 列の正方形の形に並べられていた石を崩した後, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ と $m$ 段目まで並べていくと, 石を余すことなく正三角形の形に並べられたとする. このとき, $(x,y) = (2m+1,2l)$ は $x^2-2y^2 = 1$ の解であることを示せ.
(2)
$(x,y)$ を $x^2-2y^2 = 1$ の正の整数解とする. このとき, $x$ は $3$ 以上の奇数であり, $y$ は偶数であることを示せ. さらに, $l = \dfrac{y}{2},$ $m = \dfrac{x-1}{2}$ とおくと, 上記のように, $l$ 行 $l$ 列の正方形の形に並べられた石は, $m$ 段の正三角形の形にも並べられることを示せ.
[津田塾大*]

解答例

(1)
石の個数に関する条件から \[ l^2 = \displaystyle\sum_{k = 1}^mk = \frac{1}{2}m(m+1)\] が成り立つので, \begin{align*} &(2m+1)^2-2(2l)^2 = (2m+1)^2-8l^2 \\ &= (2m+1)^2-8\cdot\frac{1}{2}m(m+1) \\ &= (4m^2+4m+1)-(4m^2+4m) = 1 \end{align*} が成り立つ.
(2)
$x^2 = 2y^2+1$ は奇数であるから, $x$ は奇数で, $x = 2m+1$ ($m$: 非負整数)とおける. $x = 1$ とすると, $-2y^2 = 0$ となり, $y = 0$ となってしまうので, $x \geqq 3$ である. また, $y = 2k+1$ ($k$: 非負整数)とすると, $x^2-2y^2 = 4(m^2+m-2k^2-2k)-1$ を $4$ で割った余りが $3 \neq 1$ となってしまうので, $y$ は偶数である. そこで, $y = 2l$ ($l$: 正の整数)とおくと, $(2m+1)^2-8l^2 = 1$ から \begin{align*} l^2 &= \frac{(2m+1)^2-1}{8} = \frac{4m^2+4m}{8} \\ &= \frac{1}{2}m(m+1) = \sum_{k = 1}^mk \end{align*} となるので, $l,$ $m$ は題意を満たす.

背景

  • 正三角形の形に点を並べたときの点の総数を「三角数」と呼び, 平方数でも「三角数」でもある整数を「平方三角数」と呼ぶ.
  • 平方数でないある正の整数 $d$ に対して, $x^2-dy^2 = 1$ または $x^2-dy^2 = -1$ の形をした方程式を「ペル方程式」と呼ぶ. 本問で示したように,「平方三角数」と「ペル方程式」$x^2-2y^2 = 1$ の正の整数解は $1$ 対 $1$ に対応している.

問題≪$m$ 乗数の和を表す $m+1$ 次多項式≫

 すべての正の整数 $m$ に対して, \[\sum_{k = 1}^nk^m = S_m(n) \quad (n \geqq 1)\] を満たす $m+1$ 次多項式 $S_m(x)$ が存在することを示せ.

解答例

 $m$ に関する数学的帰納法で示す.
(i)
$m = 1$ のとき. \[ 2x = (x+1)^2-x^2-1\] に $x = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \begin{align*} 2\sum_{k = 1}^nk &= (n+1)^2-1^2-n \\ &= (n+1)^2-(n+1) \\ &= n(n+1) \end{align*} となるから, \[ S_1(x) = \frac{1}{2}x(x+1)\] は \[\sum_{k = 1}^nk = S_1(n) \quad (n \geqq 1)\] を満たす.
(ii)
$m > 1$ として, 題意を満たす多項式 $S_1(x),$ $\cdots,$ $S_{m-1}(x)$ の存在を仮定する. 二項定理により \[ (x\!+\!1)^{m+1} = 1\!+\!\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_jx^j\!+\!(m\!+\!1)x^m\!+\!x^{m+1}\] であるから, \[ (m\!+\!1)x^m \!=\! (x\!+\!1)^{m+1}\!-\!x^{m+1}\!-\!1\!-\!\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_jx^j\] が成り立つ. このとき, $x = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \begin{align*} &(m+1)\sum_{k = 1}^nk^m \\ &= (n+1)^{m+1}-1^{m+1}-n-\sum_{k = 1}^n\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_jk^j \\ &= (n+1)^{m+1}-(n+1)-\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_j\sum_{k = 1}^nk^j \\ &= (n+1)^{m+1}-(n+1)-\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_jS_j(n) \\ \end{align*} となるから, \begin{align*} S_m(x) &= \frac{1}{m+1}\left\{ (x+1)^{m+1}-(x+1)\right. \\ &\qquad\qquad\qquad\quad \left.-\sum_{j = 1}^{m-1}{}_{m+1}\mathrm C_jS_j(x)\right\} \end{align*} とおくと, 右辺の $(x+1)^{m+1}$ は $m+1$ 次でそれ以外の項は $m$ 次以下であるから $S_m(x)$ は $m+1$ 次になり, \[\sum_{k = 1}^nk^m = S_m(n) \quad (n \geqq 1)\] となる.
(i), (ii) から, 題意が示された.

背景

 本問は,「ファウルハーバーの公式」(Faulhaber's formula) \[\sum_{k = 1}^nk^m = \frac{1}{m+1}\sum_{k = 0}^m{}_{m+1}\mathrm C_kB_kn^{m+1-k}\] を背景としている. ここで, $B_0,$ $\cdots,$ $B_m$ は「ベルヌーイ数」(Bernoulli number)と呼ばれる有理数で, \[\sum_{k = 0}^n{}_{n+1}\mathrm C_kB_k = n+1\] という関係式で定まる(こちらも参照).