COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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接線(数学 II)

接線

定理≪関数のグラフの接線≫

 $x = \alpha$ において微分可能な関数 $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の点 $(\alpha ,f(\alpha ))$ における接線の方程式は \[ y = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] である.

問題≪放物線の直交する接線の交点の軌跡≫

 放物線 $y = x^2$ の相異なる $2$ 点 $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ における接線が直交するように $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ が動くとき, $2$ 本の接線の交点の軌跡を求めよ.

解答例

 放物線 $y = x^2$ の $2$ 点 $(\alpha,\alpha ^2),$ $(\beta,\beta ^2)$ $(\alpha \neq \beta)$ における接線が点 $(X,Y)$ で直交するとする.
$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ となるから, 点 $(\alpha,\alpha ^2)$ における接線の方程式は
$y = 2\alpha (x-\alpha )+\alpha ^2$ つまり $y = 2\alpha x-\alpha ^2\ \cdots [1]$
である. 同様に, 点 $(\beta,\beta ^2)$ における接線の方程式は \[ y = 2\beta x-\beta ^2\ \cdots [2]\] である. $(X,Y)$ は連立方程式 $[1],$ $[2]$ の解であるから, \[ X = \frac{\alpha +\beta}{2}, \quad Y = \alpha\beta\] である. また, $[1],$ $[2]$ は直交するので, $2\alpha\cdot 2\beta = -1$ から \[ X = \frac{\alpha +\beta}{2}, \quad Y = -\frac{1}{4} \quad \cdots [3]\] が成り立つ. ここで, $\alpha,$ $\beta$ は $t$ の $2$ 次方程式 \[ t^2-(\alpha +\beta )t+\alpha\beta = 0\] の相異なる $2$ 解であるが, その判別式は \[ (\alpha +\beta )^2-4\alpha\beta = (\alpha +\beta )^2+1 > 0\] と常に正であるから, $[3]$ はすべての実数 $X$ に対して成り立つ.
ゆえに, 求める軌跡は, 直線 $y = -\dfrac{1}{4}$ である.

背景

 一般に, 放物線 $y^2 = 4px$ の直交する $2$ 接線の交点の軌跡は, 準線 $x = -p$ である(準線については, 数学 III で学ぶ).