COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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接線(数学 II)

接線

定理≪関数のグラフの接線≫

 $x = \alpha$ において微分可能な関数 $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の点 $(\alpha ,f(\alpha ))$ における接線の方程式は \[ y = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] である.

問題≪整関数のグラフと直線が接する条件≫

 $\alpha$ を実数とする. 多項式 $f(x)$ を $(x-\alpha)^2$ で割った商を $p(x)$ とおき, その余りを $x-\alpha$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおく. また, $y = f(x)$ のグラフの点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線を $y = g(x)$ とする. このとき, $r = f(\alpha ),$ $q = f'(\alpha )$ であることを示すことにより, $f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れることを示せ.

解答例

 剰余の定理により, $r = f(\alpha )$ が成り立つ. よって, \[ f(x)-f(\alpha ) = p(x)(x-\alpha )^2+q(x-\alpha )\] であるから, 微分係数の定義により \[ f'(\alpha ) = \lim\limits_{x \to \alpha}\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha} = \lim\limits_{x \to \alpha}\{ p(x)(x-\alpha )+q\} = q\] が得られる. よって, \[ f(x) = p(x)(x-\alpha )^2+f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] であり, 接線の公式により \[ g(x) = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] であるから, 辺々を引くと \[ f(x)-g(x) = p(x)(x-\alpha )^2\] となる. ゆえに, $f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.

背景

  • 本問で示したことは, 言わずもがなの有名事実である.
  • 同様に, 整関数 $f(x)$ が $f''(\alpha ) = 0$ を満たすとし(数学 III), $y = f(x)$ のグラフの $x = \alpha$ における接線を $y = g(x)$ とすると, $f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^3$ で割り切れる. 実際, \[ f(x) = p(x)(x-\alpha )^3+q(x-\alpha )^2+r(x-\alpha )+s\] ($q,$ $r,$ $s$: 実数)とおくと, 上記の結果により $s = f(\alpha ),$ $r = f'(\alpha )$ となるから, 積の導関数の公式(数学 III)により \begin{align*} f(x) &\!=\! p(x)(x\!-\!\alpha )^3\!\!+\!q(x\!-\!\alpha )^2\!\!+\!f'\!(\alpha )(x\!-\!\alpha )\!+\!f(\alpha ), \\ f'\!(x) &\!=\! p'\!(x)(x\!-\!\alpha )^3\!\!+\!3p(x)(x\!-\!\alpha )^2\!\!+\!2q(x\!-\!\alpha )\!+\!f'(\alpha ) \end{align*} となり, \begin{align*} 0 &= f''(\alpha ) = \lim\limits_{x \to \alpha}\frac{f'(x)-f'(\alpha )}{x-\alpha} \\ &= \lim\limits_{x \to \alpha}\{ p'(x)(x-\alpha )^2+3p(x)(x-\alpha )+2q\} = 2q \end{align*} となるからである.

問題≪放物線の直交する接線の交点の軌跡≫

 放物線 $y = x^2$ の相異なる $2$ 点 $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ における接線が直交するように $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ が動くとき, $2$ 本の接線の交点の軌跡を求めよ.

解答例

 放物線 $y = x^2$ の $2$ 点 $(\alpha,\alpha ^2),$ $(\beta,\beta ^2)$ $(\alpha \neq \beta)$ における接線が点 $(X,Y)$ で直交するとする.
$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ となるから, 点 $(\alpha,\alpha ^2)$ における接線の方程式は
$y = 2\alpha (x-\alpha )+\alpha ^2$ つまり $y = 2\alpha x-\alpha ^2\ \cdots [1]$
である. 同様に, 点 $(\beta,\beta ^2)$ における接線の方程式は \[ y = 2\beta x-\beta ^2\ \cdots [2]\] である. $(X,Y)$ は連立方程式 $[1],$ $[2]$ の解であるから, \[ X = \frac{\alpha +\beta}{2}, \quad Y = \alpha\beta\] である. また, $[1],$ $[2]$ は直交するので, $2\alpha\cdot 2\beta = -1$ から \[ X = \frac{\alpha +\beta}{2}, \quad Y = -\frac{1}{4} \quad \cdots [3]\] が成り立つ. ここで, $\alpha,$ $\beta$ は $t$ の $2$ 次方程式 \[ t^2-(\alpha +\beta )t+\alpha\beta = 0\] の相異なる $2$ 解であるが, その判別式は \[ (\alpha +\beta )^2-4\alpha\beta = (\alpha +\beta )^2+1 > 0\] と常に正であるから, $[3]$ はすべての実数 $X$ に対して成り立つ.
ゆえに, 求める軌跡は, 直線 $y = -\dfrac{1}{4}$ である.

背景

 一般に, 放物線 $y^2 = 4px$ の直交する $2$ 接線の交点の軌跡は, 準線 $x = -p$ である(準線については, 数学 III で学ぶ).