COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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テイラー展開

テイラー展開

 $x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能なある種の関数 $f(x)$ は, \[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] と表せる. ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める. この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りの「テイラー展開」(Taylor's expansion)と呼ぶ. $a = 0$ のときは「マクローリン展開」(Maclaurin's expansion)と呼ぶ. 例えば, \begin{align*} \cos x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}, \\ \sin x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!}, \\ e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\ \log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1) \end{align*} といった関数の「マクローリン展開」が有名である. 

問題

数学 III: 積分法

問題≪メルカトル級数とその項の並び替え≫

(1)
$\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
(2)
無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
(3)
項を並び替えて得られる無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.

解答例

(1)
左辺を変形すると, \begin{align*} &\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} \\ &= \sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k}+2\sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k}-2\sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k} \\ &= \sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k-1}+\sum_{k = 1}^n\frac{1}{2k}-\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k} \quad \cdots [1] \end{align*} となる.
(2)
$[1]$ から, \begin{align*} &\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{n+k} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{1+\dfrac{k}{n}} = \int_0^1\frac{dx}{1+x} \\ &= \big[\log (1+x)\big] _0^1 = \log 2 \quad \cdots [2] \end{align*} である.
(3)
$[2]$ から, \begin{align*} &\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right) \\ &= \sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right) \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \frac{1}{2}\log 2 \end{align*} が得られる.

背景

 $x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能なある種の関数 $f(x)$ は, \[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] と表せる. ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める. この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りの「テイラー展開」(Taylor's expansion)と呼ぶ. 例えば, \begin{align*} e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\ \log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1) \end{align*} といった「テイラー展開」が有名である. (2) の級数は, 第 $2$ 式において $x = 1$ として得られるものであり,「メルカトル級数」(Mercator series)と呼ばれる.
 各項が $0$ 以上である「正項級数」(positive series)と違って, 各項の符号が交互に変わる「交代級数」(alternative series)では項を並び替えると和の変化することがある. 本問では,「メルカトル級数」$\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ と項を並び替えた無限級数の和を求めて, この奇妙な現象の $1$ 例を与えた.