COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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複素数平面上の変換

反転

問題≪反転による円円対応≫

 複素数平面上の原点 $\mathrm O$ と異なる点 $\mathrm P(z)$ と半直線 $\mathrm{OP}$ 上の点 $\mathrm Q(w)$ が $\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = 1$ を満たすとき, 次の問いに答えよ.
(1)
$w$ を用いて $z$ を表せ.
(2)
点 $\mathrm P$ が円周 $|z-\alpha | = r$ 上を動くとき, 点 $\mathrm Q$ は, $|\alpha | = r$ の場合に原点を通らない直線を描き, $|\alpha| \neq r$ の場合に原点を通らない円を描くことを示せ.

解答例

(1)
点 $\mathrm Q$ は半直線 $\mathrm{OP}$ 上にあるから, $0$ 以上のある実数 $k$ に対して $z = kw$ となる. $\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = 1$ から \[ 1 = |z||w| = |kw||w| = k|w|^2\] であるので, $k = \dfrac{1}{|w|^2}$ が成り立つ. よって, \[ z = \frac{1}{|w|^2}w = \frac{w}{w\bar w} = \frac{1}{\bar w} \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
$|z-\alpha | = r$ に $[1]$ を代入すると \[\left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| = r\] となるから, \begin{align*} r^2 &= \left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| ^2 = \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\overline{\left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)} \\ &= \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\left(\frac{1}{w}-\bar\alpha\right) = \frac{1}{\bar ww}-\frac{\bar\alpha}{\bar w}-\frac{\alpha}{w}+|\alpha |^2 \end{align*} となる. 両辺に $w\bar w$ を掛けて整理すると, \[ (|\alpha |^2-r^2)w\bar w-\bar\alpha w-\alpha\bar w+1 = 0 \quad \cdots [2]\] となる.
(i)
$|\alpha | = r$ の場合. \[ [2] \iff \bar\alpha w+\alpha\bar w = 1\] となるから, (A) の結果により, 点 $\mathrm Q$ の軌跡は $2$ 点 $0,$ $\alpha ^{-1}$ を結ぶ線分の垂直二等分線である. よって, 点 $\mathrm Q$ は原点を通らない直線を描く.
(ii)
$|\alpha | \neq r$ の場合. $d = |\alpha |^2-r^2$ とおくと, \begin{align*} [2] &\iff w\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}w-\frac{\alpha}{d}\bar w+\frac{\alpha\bar\alpha}{d^2} = \frac{|\alpha |^2}{d^2}-\frac{1}{d} \\ &\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\left(\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}\right) = \frac{r^2}{d^2} \\ &\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\overline{\left( w-\frac{\alpha}{d}\right)} = \frac{r^2}{d^2} \\ &\iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| ^2 = \frac{r^2}{d^2} \iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| = \frac{r}{|d|} \end{align*} となるから, 点 $\mathrm Q$ の軌跡は点 $\dfrac{\alpha}{|\alpha |^2-r^2}$ を中心とする半径 $\dfrac{r}{||\alpha |^2-r^2|}$ の円である. よって, 点 $\mathrm Q$ は原点を通らない円を描く.

背景

  • 集合 $S$ の要素それぞれに応じて $S$ の要素 $1$ つを定める対応の規則を $S$ 上の「変換」と呼ぶ. 例えば, 実数全体 $R$ を定義域とする実数値関数は $R$ 上の「変換」である. また, 複素数平面における平行移動, 回転移動, 対称移動はすべて複素数平面上の「変換」である. さらに, 複素数平面上の各点を定点からの距離がもとの定数倍になるような点にうつす対応も「相似変換」または「拡大・縮小変換」と呼ばれる「変換」である.
  • 平面上の点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $r$ の円周 $C$ について, $\mathrm O$ と異なる点 $\mathrm P$ を $\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = r^2$ なる半直線 $\mathrm{OP}$ 上の点 $\mathrm Q$ に対応させる「変換」を円 $C$ に関する「反転」と呼び, 点 $\mathrm O$ を「反転の中心」, $r$ を「反転の半径」, 円 $C$ を「反転円」と呼ぶ. また, 点 $\mathrm P$ が図形 $F$ 上を動くときの点 $\mathrm Q$ の軌跡を $F$ の「反形」と呼ぶ.
  • 複素数平面上の「反転」$w = \dfrac{1}{\bar z}$ は, 実軸に関する対称移動と「変換」$w = \dfrac{1}{z}$ の「合成変換」である. 前者の「変換」が円を円にうつし, 後者の「変換」が円を円または直線にうつすことから,「反転」$w = \dfrac{1}{\bar z}$ は円を円または直線にうつす. 一般に,「$1$ 次分数変換」$w = \dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ ($\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$: 複素数の定数, $\alpha\delta \neq \beta\gamma,$ $(\gamma,\delta ) \neq (0,0)$)の形の変換は, 「$1$ 次分数変換」と呼ばれ, 円を円または直線にうつすことが知られている. このことは「円円対応」と呼ばれる.