COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角形

三角形

問題≪線分を折り曲げてできる三角形≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の線分を $2$ 点で折り曲げ, 端点をつなぐことにより三角形をつくる.
(1)
三角形の形状によらず, $3$ 辺の長さは $\dfrac{1}{2}$ 未満になることを示せ.
(2)
二等辺三角形をつくるとき, 等辺の長さは $\dfrac{1}{4}$ より大きいことを示せ.
(3)
$2$ 辺の長さが $1-\dfrac{1}{\sqrt 2}$ より大きいとき, その $2$ 辺がはさむ角は鋭角であることを示せ.

解答例

(1)
周の長さが $1,$ $3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c$ の三角形において, $a < \dfrac{1}{2}$ であることを示せば十分である. 三角形ができるためには \[ a < b+c \quad \cdots [1]\] であることが必要である. また, $a+b+c = 1$ から \[ c = 1-a-b \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $[1]$ に $[2]$ を代入すると
$a < b+(1-a-b)$ つまり $2a < 1$
となるから, $a < \dfrac{1}{2}$ が成り立つ. これで題意が示された.
(2)
周の長さが $1$ の二等辺三角形の等辺の長さを $a$ とおくと, 残りの $1$ 辺の長さは $1-2a$ であり,
$1-2a < a+a$ つまり $4a > 1$
となるから, $a > \dfrac{1}{4}$ が成り立つ. これで題意が示された.
(3)
周の長さが $1,$ $3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c$ の三角形において, $a > 1-\dfrac{1}{\sqrt 2},$ $b > 1-\dfrac{1}{\sqrt 2}$ であるとする. このとき, $1-a < \dfrac{1}{\sqrt 2},$ $1-b < \dfrac{1}{\sqrt 2},$ $c = 1-a-b$ となる. よって, \begin{align*} &a^2+b^2-c^2 = (a^2+b^2)-(1-a-b)^2 \\ &= (a^2+b^2)-(1+a^2+b^2-2a-2b+2ab) \\ &= -1+2a+2b-2ab = 1-2(1-a-b+ab) \\ &= 1-2(1-a)(1-b) \\ &> 1-2\cdot\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2} = 0 \end{align*} となり, $a^2+b^2 > c^2$ となるから, 長さが $a,$ $b$ の辺がはさむ角は鋭角である. これで題意が示された.