COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角形

三角形

問題≪線分を折り曲げてできる三角形≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の線分を $2$ 点で折り曲げ, 端点をつなぐことにより三角形をつくるとき, $1$ 辺の長さは $\dfrac{1}{2}$ 未満になることを示せ.

解答例

 周の長さが $1,$ $3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c$ の三角形において, $a < \dfrac{1}{2}$ であることを示せば十分である. 三角形ができるためには \[ a < b+c \quad \cdots [1]\] であることが必要である. また, $a+b+c = 1$ から \[ c = 1-a-b \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $[1]$ に $[2]$ を代入すると
$a < b+(1-a-b)$ つまり $2a < 1$
となるから, $a < \dfrac{1}{2}$ が成り立つ. これで題意が示された.