COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角関数

三角関数

問題≪三角関数の超越性にまつわる問題≫

 $\sin x = f(x)$ を満たす, 実数を係数とする整関数(整式で表される関数) $f(x)$ は存在しないことを示せ.

解答例: $\sin x = 0$ の解に着目

 $\sin x = 0$ は無限個の実数解 $x = n\pi$ ($n$: 整数)をもつ.
一方で, 因数定理により, 実数を係数とする $d$ 次方程式 $f(x) = 0$ は高々 $d$ 個の実数解しかもたない.
ゆえに, $\sin x = f(x)$ を満たす, 実数を係数とする整関数 $f(x)$ は存在しない.

別解 1: $x \to \infty$ ときの極限に着目(数学 III)

 $x \to \infty$ のときの $\sin x$ の極限は存在しない.
一方で, 実数を係数とする整関数 $f(x) = a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_0$ $(a_d \neq 0,\ d > 0)$ は, \[ f(x) = a_dx^d\left( 1+\frac{a_{d-1}}{a_d}\cdot\frac{1}{x}+\cdots +\frac{a_0}{a_d}\cdot\frac{1}{x^d}\right)\ (x \neq 0)\] と表されるから, $x \to \infty$ のとき $\pm\infty$ に発散する(符号は $a_d$ の符号と同じ).
また, $\sin x$ は定数関数でないから, $\sin x = f(x)$ を満たす, 実数を係数とする整関数 $f(x)$ は存在しない.

別解 2: 導関数に着目(数学 III)

\begin{align*} (\sin x)' &= \cos x, & (\sin x)'' &= -\sin x, \\ (\sin x)''' &= -\cos x, & (\sin x)'''' &= \sin x \end{align*} であるから, $(\sin x)^{(n)} = \sin\left( x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ である.
一方で, 実数を係数とする $d$ 次の整関数の第 $d+1$ 次導関数は $0$ である.
ゆえに, $\sin x = f(x)$ を満たす, 実数を係数とする整関数 $f(x)$ は存在しない.

背景

  • 整式と整式の累乗根の和, 差, 積, 商のみを使って表すことができる関数を「代数関数」(algebraic function)と呼び, そうでない関数を「超越関数」(transcendental function)と呼ぶ. 三角関数 $\cos x,$ $\sin x,$ $\tan x,$ 指数関数 $a^x,$ 対数関数 $\log _ax$ $(a > 0,\ a \neq 1)$ は代表的な「超越関数」である.
  • $\cos x,$ $\sin x$ は整式を使って表せないが, 無限級数(数学 III)を使って \[\cos x = \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}, \quad \sin x = \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\] と表されることが知られている. これを $\cos x,$ $\sin x$ の「マクローリン展開」(Maclaurin expansion)と呼ぶ.