COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

付値

理論

付値

問題

付値

問題≪非 Archimedes 付値体上の三角形≫

 $v:k^*\to\mathbb Z$ を体 $K$ 上の非 Archimedes 加法付値とする. 任意の相異なる $3$ 点 $a_1,$ $a_2,$ $a_3 \in k$ は, 適当な並び替えにより $v(a_1-a_3) = v(a_2-a_3)$ を満たすことを示せ.

証明

 必要ならば $a_1$ と $a_2$ を入れ替えて $v(a_1-a_3) \geq v(a_2-a_3)$ とできる. $v(a_1-a_3) > v(a_2-a_3)$ のときは, \begin{align*} v(a_1-a_2) &= v(a_1-a_3-a_2+a_3) \\ &= \min\{ v(a_1-a_3),\ v(a_2-a_3)\} \\ &= v(a_2-a_3) = v(a_3-a_2) \end{align*} となるから, $a_2$ と $a_3$ を入れ替えれば良い.

解説

 示したことを標語的に言うと, 非 Arichimedes 付値体上の任意の三角形は二等辺三角形である.